求數學高手幫忙

有多種方法可以證明.
(1) 根據極限的定義, 要證明極限不存在, 就是證明:
對任意 A in R, 存在 e>0, 使得對任何 d>0,
都有一個 x 滿足 0<|x-0|<d 而且 |f(x)-A|>e.
(2) 根據極限的定義可推出:
若極限存在, 則對任意 e>0 存在 d>0 使得
當 0<|x-0|<d 而且 0<|y-0|<d 時, 就得到 |f(x)-f(y)|<e.
反之, 極限不存在的一個充分條件是:
存在 e>0 使得對任意 d>0, 都可找到 x, y 滿足
0<|x-0|<d 且 0<|y-0|<d 但 |f(x)-f(y)|>=e.
(3) 若極限存在, 則任意 x_n→0 都導致 f(x_n) 有相同極限.
因此, 若能找到兩數列 x_n→0 且 y_n→0, 但 f(x_n)
與 f(y_n) 卻有不同極限, 甚或不存在極限, 那就證明了
lim_{x→0} f(x) 不存在.


本例用 (3), 取 {x_n} 都是 rational, 例如 x_n = 1/n, 又取 y_n
都是 irrational, 例如 y_n = (√2)/n, 則 x_n→0 且 y_n→0.
但 f(x_n) 恆為 0 而 f(y_n) 恆為 1, 因此, f(x_n) 極限為 0 而
f(y_n) 極限為 1, 顯然數列 f(x_n) 與 f(y_n) 有不同極限,
這證明了 lim_{x→0}f(x) 不存在.


其他方法留給你自己練習吧!

f(x)= 0 , if x is rational
f(x)= 1 , if x is irrational

(i) x=0+ → 0 ,x=rational or irrational
then f(x)= 0 or 1 => no convergence
(ii) x=0- → 0 ,x=rational or irrational
then f(x)= 0 or 1 => no convergence

that limx->0 f(x) does not exist.