高中多項式求餘式!

👨🏻‍🏫 學術台數學

chengi

2012-10-05 2:41 am

deg f(x) >= 3 若 f(x) 除以 x-1，x^2+x+1之餘式分別為8，7x+16，
則以 x^3-1 除 f(x) 之餘式為!?

算式: (x^3-1) = (x-1)(x^2+x+1)
令 f(x) = (x-1)(x^2+x+1)Q+ax^2+bx+c
= (x-1)(x^2+x+1)Q + a(x^2+x+1)+7x+16
因為 f(1)=8 ，a=-5
所求= -5x^2+2x+11

我想問的是! ax^2+bx+c 其中 x^2 以(x^2+x+1) 代入為何可以這麼做??

我們老師說，這樣做是為了提出 (x^2+x+1) 但是這樣做為何就可以算出答案 -\\- !! 請數學高手幫我解答謝謝:)!

如還有疑問我會再補充贈20點:))

回答 (3)

[匿名]

2012-10-05 6:00 am

✔ 最佳答案

這是因為你是令f(x) = (x-1)(x^2+x+1)Q+ax^2+bx+c

當f(x)除以 x^2+x+1時

(x-1)(x^2+x+1)Q 很明顯可以整除

後面 ax^2+bx+c 就很難說了

但是你又知道餘式是7x+16

所以你把 ax^2+bx+c 又變成了a(x^2+x+1)+7x+16

結果呢你的f(x) 就變成(x-1)(x^2+x+1)Q + a(x^2+x+1)+7x+16

到這邊為止都是利用f(x)除以 x^2+x+1之餘式7x+16

再來是餘式定理除以 x-1 餘式8

f(1)=8 求出a=-5

所以當 x^3-1 除 f(x) 時

你的f(x) = (x-1)(x^2+x+1)Q + (-5x^2+2x+11 ) = ( x^3-1)Q + (-5x^2+2x+11 )

前面很明顯整除所以餘式就是(-5x^2+2x+11 )

2012-10-04 22:13:30 補充：
重點是你必須要知道為什麼這麼令f(x)

你大可以令f(x) = (x^2+x+1)Q+ax+b

又或者令f(x)= (x-1) Q + c

但是這跟你要的東西一點幫助都沒有

所以才會這樣令f(x)

2012-10-05 12:14:56 補充：
雖然沒有螞蟻雄兵大師專業

但是很高興有幫到忙

參考: 自己, 自己

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[匿名]

2012-10-05 6:15 am

給傻瓜怒風原來是這樣算的!! 謝謝你的答案@@~
(本人只是剛好對發問人問的這題也有問題)

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