取球問題(進階題2題)

3)設紅球有 r 個 , 藍球有 b 個 :若每次拿出7個紅球和8個藍球，且當最後藍球不足8個時停止取球，則停止取藍球時，還剩下1493個紅球 :b - 7 ≤ 8 * (r - 1493)/7 ≤ b
7b - 49 ≤ 8r - 11944 ≤ 7b
11895 ≤ 8r - 7b ≤ 11944 ...... (1)
若每次拿出13個紅球和7個藍球，且當最後紅球不足13個時停止取球，則停止取紅球時，還剩下571個藍球 :r - 12 ≤ 13 * (b - 571)/7 ≤ r
7r - 84 ≤ 13b - 7423 ≤ 7r
7339 ≤ 13b - 7r ≤ 7423 ...... (2)(1) * 7 + (2) * 8 :11895*7 + 7339*8 ≤ - 49b + 104b ≤ 11944*7 + 7423*8
141977 ≤ 55b ≤ 142992
2581.4... ≤ b ≤ 2599.8... 因 (b - 571)/7 是整數 , 故 b = 2587 或 2594 。當 b = 2587 , 由(2) ,
r - 12 ≤ 13 * (2587 - 571)/7 ≤ r
r - 12 ≤ 3756 ≤ r
3756 ≤ r ≤ 3768 ,
因 (r - 1493)/7 是整數 , 故 r = 3761 或 3768 。當 b = 2594 , 則 3757 ≤ r ≤ 3769 , 同理亦有 r = 3761 或 3768 。當 r = 3761 , 由(1) ,
b - 7 ≤ 8 * (3761 - 1493)/7 ≤ b
b - 7 ≤ 2592 ≤ b
2592 ≤ b ≤ 2599 , 聯立 b = 2587 或 2594 ,
得 b = 2594當 r = 3768 , 則 2593 ≤ b ≤ 2600 , 聯立 b = 2587 或 2594 ,
也有 b = 2594 故 r = [2594/8] * 7 + 1493 = 324 * 7 + 1493 = 3761驗算 : [3761/13] * 7 + 571 = 2594 = b.∴ 箱子中原有紅球 3761 個 , 藍球 2594 個。 4) 設紅球有 r 個 , 藍球有 b 個 , 黑球有 k 個 :若每次拿出1個紅球、2個藍球及3個黑球，則剛好拿完全部黑球時，還剩下63個紅球和28個藍球 :
k/3 (1 + 2 + 3) + 63 + 28 = 6283
k = 3096 若每次拿出5個紅球、6個藍球及4個黑球，則剛好拿完全部紅球時，還剩下778個藍球和2220個黑球 :
r/5 (5 + 6 + 4) + 778 + 2220 = 6283
r = 1095 球的總數為6283個 :
r + b + k = 6283
1095 + b + 3096 = 6283
b = 2092∴
紅球 1095 個,
藍球 2092 個,
黑球 3096 個。

2012-10-03 00:26:49 補充：
3)

句子 「因 (b - 571)/7 是整數 , 故 b = 2587 或 2594 。」
之後修正 :

當 b = 2587 , 由(1) ,
2587 - 7 ≤ 8 * (r - 1493)/7 ≤ 2587
3750.5 ≤ r ≤ 3756.625

當 b = 2587 , 由(2) ,
r - 12 ≤ 13 * (2587 - 571)/7 ≤ r
r - 12 ≤ 3744 ≤ r
3744 ≤ r ≤ 3756 ,

2012-10-03 00:28:32 補充：
因 (r - 1493)/7 是整數 , 故 r = 3747 或 3754 。
聯立 3750.5 ≤ r ≤ 3756.625
得 r = 3754 。

驗算 :
[2587/8] * 7 + 1493 = 323 * 7 + 1493 = 3754 = r
[3754/13] * 7 + 571 = 288 * 7 + 571 = 2587 = b

2012-10-03 00:28:54 補充：
當 b = 2594 , 由(1) ,
2594 - 7 ≤ 8 * (r - 1493)/7 ≤ 2594
3756.625 ≤ r ≤ 3762.75

當 b = 2594 , 由(2) ,
r - 12 ≤ 13 * (2594 - 571)/7 ≤ r
r - 12 ≤ 3757 ≤ r
3757 ≤ r ≤ 3769

因 (r - 1493)/7 是整數 , 故 r = 3761 或 3767 。
聯立 3756.625 ≤ r ≤ 3762.75 ,
得 r = 3761 。

2012-10-03 00:29:00 補充：
驗算 :
[2594/8] * 7 + 1493 = 324 * 7 + 1493 = 3761 = r
[3761/13] * 7 + 571 = 289 * 7 + 571 = 2594 = b

∴
箱子中原有紅球 3754 個 藍球 2587 個。
或
箱子中原有紅球 3761 個 藍球 2594 個。