高微(equality of limit sup)

2012-10-03 3:55 am

Let {x_n} and {y_n} be two real sequences, {y_n} being convergent.
Show that lim(n→∞) sup(x_n+y_n) = lim(n→∞) sup x_n+lim(n→∞)y_n.

更新1:

大大你好， lim sup (x_n - (-y_n)) ≧ lim sup x_n - lim sup (-y_n)是怎麼得到的?

回答 (1)

老怪物

2012-10-05 4:07 am

✔ 最佳答案

lim sup (x_n+y_n) ≦ lim sup x_n + lim sup y_n

又
lim sup (x_n - (-y_n)) ≧ lim sup x_n - lim sup (-y_n)但 lim y_n 存在,
故 lim sup y_n = lim y_n 且 lim sup (-y_n) = - lim y_n.因此得
lim sup (x_n+y_n) ≦ lim sup x_n + lim y_n 且
lim sup (x_n+y_n) ≧ lim sup x_n - ( - lim y_n) = lim sup x_n + lim y_n
故等式成立.

2012-10-07 18:42:45 補充：
lim sup a_n = lim sup (a_n-b_n+b_n) ≦ lim sup (a_n-b_n) + lim sup b_n
故
lim sup (a_n-b_n) ≧ lim sup a_n - lim sup b_n
　　　　 (假設右邊兩項不同時為 +∞ 或 -∞)

故得 lim sup (x_n - (-y_n)) ≧ lim sup x_n - lim sup (-y_n)

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