下列式子衍生出來的公式

1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + . . . x^n = [x^(n+1) - 1]/(x - 1)
兩邊微分，左邊得
1 + 2x + 3x^2 + . . . + nx^(n-1) ...... (即題目)
右邊得
[(x - 1)(n + 1)x^n - x^(n+1) + 1] / (x - 1)^2
= [nx^(n+1) - (n + 1)x^n + 1] / (x - 1)^2

所以
1 + 2x + 3x^2 + . . . + nx^(n-1)
= [nx^(n+1) - (n + 1)x^n + 1] / (x - 1)^2

Sol
S=1+2x+3x^2+4x^3+…+(n－1)x^(n－2)+nx^(n－1)
Sx= x+2x^2+3x^3+…+(n－2)x^(n－2)+(n－1)x^(n－1)+nx^n
------------------------------------------------------------------------------------
S(1－x)=1+ x+ x^2+ x^3+…+ x^(n－2)+ x^(n－1)－nx^n
1+ x+ x^2+ x^3+…+ x^(n－2)+ x^(n－1)
=(x^n－1)/(x－1)

2012-10-01 14:04:09 補充：
S(1－x)=(x^n－1)/(x－1)－nx^n
=[x^n－1－nx^(n+1)+nx^n]/(x－1)
=[－nx^(n+1)+(n+1)x^n－1]/(1－x)
S=[nx^(n+1)－(n+1)x^n+1]/(x－1)^2