大學數學-線性代數

大學數學-線性代數.(18) 左邊=Σ(i=1,n)[Σ(j=1,m)Aij]=Σ(i=1,n)[Ai1+Ai2+.....+Aim]=(A11+A12+......+A1m)+(A21+A22+......+A2m)+......+(An1+An2+......+Anm)右邊=Σ(j=1~m)[Σ(i=1~n)Aij]=Σ(j=1~m)[A1j+A2j+.....+Anj]=(A11+A21+.....+An1)+(A12+A22+.....+An2)+......+(A1m+A1m+.....+Anm)=(A11+A12+......+A1m)+(A21+A22+......+A2m)+......+(An1+An2+......+Anm)=上式 => 所以成立
(19a) Σ(i=1~n)[Ai+1]=Σ(i=1~n)[Ai]+n左式=(A1+1)+(A2+1)+.....+(An+1)=(A1+A2+...+An)+(1+1+1....+1) <n個1>=Σ(i=1~n)[Ai]+n=右邊 => 成立(19b) Σ(i=1~n)[Σ(j=1~m)1]=mn左邊=Σ(i=1~n)[1+1+1+.....+1] <m個1>=Σ(i=1~n)m=(1+1+1+.....+1)*m <n個1>=n*m=右邊 => 成立(19c) Σ(j=1~m)[Σ(i=1~n)Ai*Bj]=[Σ(i=1~n)Ai]*[Σ(j=1~m)Bj]左邊=Σ(j=1~m)[A1*Bj+A2*Bj+.....+An*Bj]=(A1*B1+A2*B1+.....+An*B1)+(A1*B2+A2*B2+.....+An*B2)+.....+(A1*Bm+A2*Bm+.....+An*Bm)=(A1+A2+A3+.....+An)B1+(A1+A2+A3+.....+An)B2+.....+(A1+A2+A3+.....+An)Bm=(A1+A2+A3+.....+An)(B1+B2+B3+.....+Bm)=[Σ(i=1~n)Ai]*[Σ(j=1~m)Bj]=右邊 => 成立

高中程度...較嚴謹的話用數學歸納法證之.

18 Σ (i=1->n) [Σ (j=1->m) a_ij]

= Σ (i=1->n) (a_i1+a_i2+...+a_im)

= (a_11+a_12+...+a_1m) + (a_21+a_22+...+a_2m) + (a_n1+a_n2+...+a_nm)

= (a_11+a_21+...+a_n1) + (a_12+a_22+..+a_n2)+...(a_1m+a_2m+...+a_nm)

= Σ (j=1->m) (a_1j+a_2j+...+a_nj)

= Σ (j=1->m) [Σ (i=1->n) a_ij]

19(a) Σ (i=1->n) (a_i+1)

= Σ (i=1->n) a_i + Σ (i=1->n) 1

= Σ (i=1->n) a_i + n (因為1是常數)

(b) Σ (i=1->n) [Σ j=1->m) 1]

= Σ (i=1->n) m (因為1是常數﹐實際上是m個1相加)

= mn (因為m是常數﹐實際上是n個m相加)

(c) Σ (j=1->m) [Σ (i=1->n) a_i b_j]

= Σ (j=1->m) b_j [Σ (i=1->n) a_i] (因為b_j 不含i﹐因此可以作為常數項處理)

= [Σ (j=1->m) b_j ] [Σ (i=1->n) a_i]

注：b_1 * (a_1 + a_2) + b_2 * (a_1 + a_2) = (b_1 + b_2)(a_1 + a_2)

因此最後一步成立