數學問題 [ 幾何

1、設A(2，1)，B(5，1)，C(3，a)，若△ABC為直角三角形，且∠A為直角，
求a ?
Sol
AB^2=9
AC^2=1+(a－1)^2=a^2-2a+2
BC^2=4+(a－1)^2=a^2-2a+5
(1) A為直角
a^2－2a+5=a^2－2a+2+9(不合)
(2) B為直角
a^2－2a+2=a^2－2a+5+9(不合)
(3) C為直角
9=a^2－2a+5+a^2－2a+2
2a^2－4a－2=0
a^2－2a－1=0
a=(2+/-√8)/2=1+/-√2

2、設kεR，若平面上一點P( (3k－1)/(k+1)，(k－2)/(2k+1))，在第二象限內
，求k的範圍 ?
Sol
在第二象限內 =>P(－，＋)
(3k－1)/(k+1)<0，(k－2)/(2k+1)>0
(3k－1)(k+1)<0
(k－1/3)(k+1)<0
－1<k<1/3……………………..
(k－2)/(2k+1)>0
(k－2)(k+1/2)>0
k<－1/2 or k>2……………….
　　　　　Ｏ───────────Ｏ
＜──────────Ｏ　　　　　　　　　　　Ｏ────＞
　　　　　Ｏ─────Ｏ
　　　　－１　　－１／２　　　１／３　　　　　２
─────＊─────＊─────＊─────＊────
So
－1<x<－1/2

3、設A(0，5)，B(8，2)，若P點在X軸上，求AP^2+BP^2之最小值，
以及此時P點座標
Sol
設P(x，0)
AP^2+BP^2
=x^2+25+(x－8)^2+4
=2x^2－16x+93
=2(x^2－8x+16)+61
=2(x－4)^2+61
AP^2+BP^2之最小值=61
P(4，0)

4、已知一正四面體，其中三頂點座標分別為(2，0，0)，(0，2，0)，(0，0，2)
，則另一頂點座標為?
Sol
設另一頂點座標為(a，b，c)
(a－2)^2+b^2+c^2=8…………(1)
a^2+(b－2)^2+c^2=8…………(2)
a^2+b^2+(c－2)^2=8…………(3)
(1)－(2)
－4a+4+4b－4=0
a－b=0
(2)－(3)
－4b+4+4c－4=0
b－c=0
a=b=c
a^2－4a+4+a^2+a^2=8
3a^2－4a-4=0
(3a+2)(a－2)=0
a=－2/3 or a=2
另一頂點座標為(－2/3，－2/3，－2/3) or (2，2，2)




2012-10-01 07:55:58 補充：
１、設A(2，－1)，B(5，1)，C(3，a)，若△ABC為直角三角形，且∠A為直角，求a ?
Sol
AB^2=3^2+2^2=13
AC^2=1^2+(a+1)^2=a^2+2a+2
BC^2=2^2+(a－1)^2=a^2－2a+5
AB^2+AC^2=BC^2
13+(a^2+2a+2)=a^2－2a+5
4a=－10
a=－5/2

1.設A(2,1)，B(5,1)，C(3,a)，若△ABC為直角三角形，且∠A為直角，求a ?
Sol: AB向量=(5-21-1)=(3,0), AC向量=(3-2,a-1)=(1,a-1)
∠A為直角=>AB向量⊥AC向量=>(3,0)dot(1,a-1)=0
=>3*1+0(a-1)=0 => 3=0(不合)=>a無解

2.P( k+1分之3k-1, 2k+1分之k-2 )在第二象限=>( -, +)
=>3k-1/k+1 <0 且k-2/2k+1>0
=>(3k-1)(k+1) <0 且( k-2)(2k+1)>0
=> -1< k < 1/3 且 -1/2 < k <2
=>畫數線取交集, -1/2< k < 1/3

3.P點在X軸上,設P點座標(X,0)
[(X-0)^2+(0-5)^2]+[(X-8)^2+(0-2)^2]
=X^2+25+X^2-16X+64+4
=2(X^2-8X)+93
=2(X^2-8X+16)+93-32
= 2(X-4)^2+61
當=4時,線段AP的平方+線段BP的平方之最小值61
此時P點座標(4,0)

4.設P為另一頂點座標(X,Y,Z)
A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)=>AB=BC=CA=2√2
PA^2=PB^2=>(X-2)^2+Y^2+Z^2=X^2+(Y-2)^2+Z^2
=>X=Y
PB^2=PC^2=>X^2+(Y-2)^2+Z^2=X^2+Y^2+(Z-2)^2
=>Y=Z
=>X=Y=Z代入PA^2=AB^2=(2√2)^2
=>(X-2)^2+X^2+X^2=8
=>3X^2-4X-4=0
=>(3X+2)(X-2)=0
=>X=-2/3, 2
另一頂點座標P(X,Y,Z)=(-2/3,-2/3,-2/3)或(2,2,2)

版大請再確認題1.條件是否提供有誤?

2012-10-03 02:29:24 補充：
設A（2,-1)，B(5,1)，C(3,a)，若△ABC為直角三角形，且∠A為直角，求a ?
Sol:AB斜率=1-(-1)/5-2= 2/3
AC斜率=a-(-1)/3-2 = a+1
因為∠A為直角=> AB斜率*AC斜率=-1
=>a+1=-3/2 =>a= -5/2

2012-10-03 02:35:57 補充：
2.2.P( k+1分之3k-1, 2k+1分之k-2 )在第二象限=>( -, +)
=>3k-1/k+1 <0 且k-2/2k+1>0
=>(3k-1)(k+1) <0 且( k-2)(2k+1)>0
更正=> -1< k < 1/3 且 " k <-1/2 或 k >2"
=>畫數線取交集," -1< k < -1/2"

設A(2,1)，B(5,1)，C(3,a)，若△ABC為直角三角形，且∠A為直角，求a ?

A(2,1)，B(5,1)，則AB線段平行於X軸
∠A為直角，則AC線段需平行於Y軸
C(3,a)似乎不成邏輯，應C(2,a)才是?