x^3．f(x)除以x^2-1的餘式

設ƒ(x)=(x²-3x-4)*g(x)+3x+7

各項係數和＝10＝ƒ(1)

ƒ(1)=(1²-3*1-4)*g(x)+3*1+7
=-6g(x)+10=10
∴g(x)=0

ƒ(x)=(x²-3x-4)*0+3x+7=3x+7
ƒ(x)=3x+7

x³f(x) / x²-1

x³(3x+7) / (x²-1)
3x⁴+7x³ / x²-1



　　　　３ｘ²＋ ７ｘ＋３
　　　　——————————————
ｘ²－１）３ｘ⁴＋７ｘ³
　　　　 ３ｘ⁴　　　 －３ｘ²
　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　 ７ｘ³＋３ｘ²
　　　　　　　 ７ｘ³　　　 －７ｘ
　　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　３ｘ²＋７ｘ
　　　　　　　　　　　３ｘ²　　　－３
　　　　　　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　　７ｘ＋３

A:　　７ｘ＋３

令 f(x) = (x^2 - 3x - 4)g(x) + 3x + 7
因 f(x) 的各項係數和是 10, 即 f(1) = 10, 亦即
(1 - 3 - 4)g(1) + 3 + 7 = 10
所以 g(1) = 0, 令 g(x) = (x - 1)h(x), 即
f(x) = (x^2 - 3x - 4)(x - 1)h(x) + 3x + 7
令 x^3 * f(x) = (x^2 - 1)q(x) + ax + b, 所以
x^3 * [(x^2 - 3x - 4)(x - 1)h(x) + 3x + 7] = (x^2 - 1)q(x) + ax + b .... (i)
代 x = 1 及 x = -1 入 (i), 得
(1)^3 * (0 + 3 + 7) = a + b
a + b = 10 ........ (ii)
(-1)^3 * (0 - 3 + 7) = -a + b
a - b = 4 .......... (iii)
解 (ii),(iii), 得 a = 7, b = 3
所以餘式是 (7x + 3).

設多項式f(x)的各項係數和為10，且f(x)除以x^2－3x－4的餘式為3x+7，
則x^3．f(x)除以x^2－1的餘式為
Sol
f(x)的各項係數和為10
f(1)=10
設 f(x)=q(x)(x－1)(x^2－3x－4)+a(x^2－3x－4)+3x+7
f(1)=a(1－3－4)+3+7=10
a=0
f(x)=q(x)(x－1)(x^2－3x－4)+3x+7
x^3．f(x)= q(x)x^3(x－1)(x^2－3x－4)+3x^4+7x^3
x^3．f(x)= q(x)x^3(x－4)(x^2－1)+3x^4+7x^3
x^2－1=0
x^2=1
3x^4+7x^3
=> 3(1)^2+7x*1
=> 7x+3