證明 (lnx)′=1╱x

反了OA O

是先定義 lnx = (雙曲線y=1/x)下，從1積出的面積
= ∫ 1/t dt (上限為x,下限為1) x>0

所以根據微積分基本定理
(lnx)' = d/dx[∫ 1/t dt(1~x)] = 1/x

然後(lnyz)' = (yz'+y'z)/yz = y'/y + z'/z = (lny)' + (lnz)'
所以根據積分常數原理 lnyz = lny + lnz + c，y和z皆以1代入得到c=0
證出有對數性質OA O
好久沒有看微積分了不知道有沒有錯...OA O

以上是先定義lnx的積分式，直接導出lnx的微分是1/x，再發現lnx是對數
有些人是先定義e是什麼，然後硬幹log(e)x的微分發現微出1/x
所以是定義方式不同，證明的順序也會不一樣OA O


2012-09-20 13:36:15 補充：
忘了謝隔壁提意見的老怪物大大OA O

2012-09-20 21:55:24 補充：
哇 老怪物的解釋詳細多了XD

你的 ln(x) 是怎樣定義的?

2012-09-20 14:01:26 補充：
ln(x) 定義為 ∫_[1 to x] 1/t dt.

所以, 若此定義是完善的, 則 (ln(x))' = 1/x 由微積分基本定理
直接得到.

2012-09-20 14:05:57 補充：
就 ln(x) = ∫_[1 to x] 1/t dt 的定義式而言, 由於 1/t 在 (0,∞) 是連續的, 因此上述定義的 ln(x) 在 (0,∞) 都有定義. 並且顯然 0<1 則 ln(x)<0,
x>1 則 ln(x)>0, 而 ln(1)=0.

2012-09-20 14:06:11 補充：
又:
(1) ln(x) 顯然是 strictly increasing on (0,∞);
(2) 藉由簡單的基分定理可證 ln(xy) = ln(x)+ln(y) 當 x, y 均為正數.
(3) 雖然有點煩, 但不難證 ln(x^r) = r*ln(x) 對任意有理數 r 都成立.
(4) 藉由以上結果, 易證 x→∞ 則 ln(x)→∞; 且 ln(x)→-∞ 當 x→0+.

2012-09-20 14:08:41 補充：
有了 ln(x) 的定義, exp(x) 可定義為 ln(x) 的反函數.
而一般的 a^x 則定義為 exp(x*ln(a)).
而後再定義一般對數...即, 以任意非 1 正數為底的對數.

2012-09-21 01:05:04 補充：
ln(x) ≡ ∫_[1 to x] (1/t) dt, x>0

因 f(t) = 1/t 在 t>0 連續,
故依微積分基本定理 (此定理分兩部分, 此處用其中之一.)
對所有 x>0, 均得
(d/dx) ln(x) = f(x) = 1/x.

請原發問者把微積分教本中的 "微積分基本定理" 仔細
看一下吧!