數學--三角形面積與邊長比

用邊長比的算法

三角形ABD:三角形ADE = 10:5 = 2:1 (高相同，面積比等於底邊長比)
=> BD:DE= 2:1
同理
三角形ABD:三角形BDF = 10:8 = 5:4
=> AD:DF= 5:4

連接CD，
假設三角形CDE面積為a ，三角形CDF面積為b

三角形ADC:三角形CDF = AD:DF = 5:4
=>(三角形ADE+三角形CDE):三角形CDF = 5:4
=>(5+a):b = 5:4 => 20+4a = 5b ---------(1)

三角形BDC:三角形CDE = BD:DE = 2:1
=>(三角形BDF+三角形CDF):三角形CDE = 2:1
=>(8+b):a = 2:1 => 8+b = 2a ---------(2)

聯立解(1)、(2)得 a=10,b=12

所以
四邊形DECF=三角形CDE+三角形CDF
=a+b = 10+12 = 22

Ans: 22

分析:
1.看到若干直線相交且牽涉比例問題，就想到孟氏定理(或塞瓦定理)
2.同高的三角形，底長比 = 面積比
解題:
原圖視為: 三角形ACF，與一直線交於E，D，B三點
由 孟氏定理:(CE/AE)*(AD/DF)*(BF/BC)=1...(1)
令 四邊形DECF面積=a，則(1)式成為:
[(a+8)/15]*(10/8)*[18/(a+23)]=1
(a+8)/(a+23)=2/3
a=22...答

我是還沒開始算啦，但是我第一絕要用邊常比的話
假設有一個三角形ABC A在上 B和C在下 想像一下，我這裡畫不出來
AB現段上跟AC縣段上分別有兩個點D跟E，DE再現段上任何一處

則三角形ADE:三角形ABC=AD*AE:AB*AC

證明我寫不下，但是你可以用這個試試看,有沒有用我不知道啦

2012-09-18 23:58:52 補充：
解果真的派的上用場
首先證明這個理論
https://docs.google.com/drawings/d/11RwUieSFP9-Da1snidf1nmvfid_McOk2pFWSON1S79k/edit

再來看題目

我們設四邊形DECF面積=x

經由上述結果得知
ＡＥ×ＡＤ　　ＡＤＥ
—————＝——————　
ＡＣ×ＡＦ　　ＡＣＦ

ＡＥ×ＡＤ　　ＡＤＥ
—————＝——————　
ＡＣ×ＡＦ　　ＡＤＥ＋Ｘ

也就是
ＡＥ　ＡＤ　　ＡＤＥ
——Ｘ——＝——————　
ＡＣ　ＡＦ　　ＡＤＥ＋Ｘ

我們又可以知道ＡＥ：ＡＣ＝ＡＢＥ：ＡＢＣ＝１５：（２３＋Ｘ）
　　　　　　　ＡＤ：ＡＦ＝ＡＤＢ：ＡＦＢ＝１０：１８
　　　　　　　ＡＤＥ：（ＡＤＥ＋Ｘ）＝５：（５＋Ｘ）
所以
１５　　　　１０　　　５
————Ｘ————＝—————　
２３＋Ｘ　　１８　　５＋Ｘ
過程我不寫，解出來Ｘ＝22

Ａ：四邊形DECF面積＝２２

有打錯或看不懂的都請提出，謝謝

這題我有更簡單的算法，也可以畫圖給你看，
不過你要選我作最佳解答，如果不要的話就算嚕!
^^+

三角形ADE面積=5
三角形ABD面積=10
三角形BDF面積= 8
求四邊形DECF面積= ?
Sol
設四邊形DECF面積=x
AD向量=(10/15)AE向量+(5/15) AB向量
=(2/3)AE向量+(1/3) AB向量
AF向量=(18/10)AD向量
=(9/5)[(2/3)AE向量+(1/3) AB向量]
=(18/15)AE向量+(9/15) AB向量
=(1-9/15)AC向量+(9/15) AB向量
=(6/15)AC向量+(9/15) AB向量
So
(18/15)AE向量=(6/15)AC向量
AC向量=3 AE向量
8+x=2*(5+10)
x=22