兩條關於數學歸納法ge題目唔識做··唔該曬！！><

1) 當 n = 1 ,
2²⁺¹ - 9 + 3 - 2 = 0 能被54整除。

設 n = k 時 ,
2²ᵏ⁺¹ - 9k² + 3k - 2 能被54整除 = 54M。當 n = k+1 ,
2²⁽ᵏ⁺¹⁾⁺¹ - 9(k + 1)² + 3(k + 1) - 2
= 2²ᵏ⁺³ - 9k² - 18k - 9 + 3k + 3 - 2
= 4(2²ᵏ⁺¹) - 9k² - 15k - 8
= 4(2²ᵏ⁺¹) - 36k² + 12k - 8 + (27k² - 27k)
= 4(2²ᵏ⁺¹ - 9k² + 3k - 2) + (27k² - 27k)
= 4(54M) + 27k(k - 1)
= 4(54M) + 27(2N) ......... k(k -1) 能被2整除= 2N , 因為 k 和 k-1 一雙一單。
= 54(4M + N) 能被54整除。
2) 當 n = 1 ,
x² + (x + 1) 能被 x² + x + 1 整除。設 n = k 時 ,
xᵏ⁺¹ + (x + 1)²ᵏ⁻¹ 能被 x² + x + 1 整除 = (x² + x + 1)M。當 n = k+1 ,
x⁽ᵏ⁺¹⁾⁺¹ + (x + 1)²⁽ᵏ⁺¹⁾⁻¹
= x⁽ᵏ⁺²⁾ + (x + 1)²ᵏ⁺¹
= x (x⁽ᵏ⁺¹⁾) + (x + 1)² (x + 1)²ᵏ⁻¹
= x (x⁽ᵏ⁺¹⁾) + (x² + 2x + 1) (x + 1)²ᵏ⁻¹
= x (x⁽ᵏ⁺¹⁾) + x (x + 1)²ᵏ⁻¹ + (x² + x + 1) (x + 1)²ᵏ⁻¹
= x (xᵏ⁺¹ + (x + 1)²ᵏ⁻¹) + (x² + x + 1) (x + 1)²ᵏ⁻¹
= x (x² + x + 1)M + (x² + x + 1) (x + 1)²ᵏ⁻¹
= (x² + x + 1) (xM + (x + 1)²ᵏ⁻¹) 能被 x² + x + 1 整除。