代數式的化簡與求值

無論由題設 a , b , c , d > 0 或 abcd = 1 都得 a,b,c,d ≠ 0 ,
這使解題過程中可於任一項分子分母同乘以 a,b,c,d 任何一或多個而不會使
分子分母為 0。

其中條件 a , b , c , d > 0 保證了各分母 > 0。(避免分母為0)
不然只有條件abcd = 1 的話 ,
有可能 a = b = c = d = - 1 , 或 a = c = ±1 , b = d = 干1 , 致使各項分母為 0。
又可能 a = b = ±1 , c = d = 干1 , 致使某兩項分母為 0 等等。

意見 001 已給出了一種解法 , 以下再補充一些解法 :


解法二 :

a / (abc + ab + a + 1) + b / (bcd + bc + b + 1)
+ c / (cda + cd + c + 1) + d / (dab + da + d + 1)

=
a / (abc + ab + a + 1) + ab / (abcd + abc + ab + a)
+ abc / (abcda + abcd + abc + ab) + d / (dab + da + d + abcd)

=
a / (abc + ab + a + 1) + ab / (1 + abc + ab + a)
+ abc / (a + 1 + abc + ab) + 1 / (ab + a + 1 + abc)

= (abc + ab + a + 1) / (abc + ab + a + 1)

= 1



解法三 :

abcd = 1 , 故 d = 1/(abc)。

∴
a / (abc + ab + a + 1) + b / (bcd + bc + b + 1)
+ c / (cda + cd + c + 1) + d / (dab + da + d + 1)

=
a / (abc + ab + a + 1) + b / (bc/(abc) + bc + b + 1)
+ c / (ca/(abc) + c/(abc) + c + 1) + 1/(abc) / (ab/(abc) + a/(abc) + 1/(abc) + 1)

=
a / (abc + ab + a + 1) + b / (1/a + bc + b + 1)
+ c / (1/b + 1/(ab) + c + 1) + 1/(abc) / (1/c + 1/(bc) + 1/(abc) + 1)

=
a / (abc + ab + a + 1) + b / (1/a + bc + b + 1)
+ c / (1/b + 1/(ab) + c + 1) + 1/(abc) / (1/c + 1/(bc) + 1/(abc) + 1)

=
a / (abc + ab + a + 1) + ab / (1 + abc + ab + a)
+ abc / (a + 1 + abc + ab) + 1 / (ab + a + 1 + abc)

= (abc + ab + a + 1) / (abc + ab + a + 1)

= 1



解法四 (只適用於選擇題及填充題 , 解答題切勿使用) :

設 a = b = c = d = 1 滿足題設 ,

原式 = 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1。



解法五 :
因 abcd = 1 , 故可設 a = w/x , b = x/y , c = y/z , d = z/w。

原式 =
(w/x) / (w/x x/y y/z + w/x x/y + w/x + 1)
+ (x/y) / (x/y y/z z/w + x/y y/z + x/y + 1)
+ (y/z) / (y/z z/w w/x + y/z z/w + y/z + 1)
+ (z/w) / (z/w w/x x/y + z/w w/x + z/w + 1)

=
(w/x) / (w/z + w/y + w/x + 1)
+ (x/y) / (x/w + x/z + x/y + 1)
+ (y/z) / (y/x + y/w + y/z + 1)
+ (z/w) / (z/y + z/x + z/w + 1)

=
wyz / (wxy + wxz + wyz + xyz)
+ xwz / (xyz + xwy + xwz + wyz)
+ ywx / (ywz + yxz + ywx + wxz)
+ zxy / (zwx + zwy + zxy + wxy)

= (wxy + xyz + yzw + zwx) / (wxy + xyz + yzw + zwx)

= 1

Without a,b,c,d>0 then there is chance the denominator = 0...

That is BRILLIANT!

a/(abc+ab+a+1)+b/(bcd+bc+b+1)+c/(cda+cd+c+1)+d/(dab+da+d+1)
=a/(abc+ab+a+1)+ab/(abcd+abc+ab+a)+abc/(abcda+abcd+abc+ab)
+abcd/(abcdab+abcda+abcd+abc)
=a/(abc+ab+a+1)+ab/(1+abc+ab+a)+abc/(a+1+abc+ab)+1/(ab+a+1+abc)
=1