高一數學 ,請幫忙.

提供自己比較差的做法參考。1.方法一:先用圖形了解概念: 作 y=a^x 與 y=b^x (a,b>0,a≠b≠1) 圖形。
觀察圖形，可知:
若a>b>1，則a^c=b^d 表示c<d (當c,d>0) 或 c>d (當c,d<0) 或 c=d=0。
若a<b<1，則a^c=b^d 表示c<d (當c,d>0) 或 c>d (當c,d<0) 或 c=d=0。(或由a>b>1;c,d>0的結果，取倒數獲得其他3個結論)這樣知道了類似等式中，底數大小與指數大小次序之關聯。以下為了獲得2a,3b,5c，將題目條件2^a=3^b=5^c變形為:(√2)^2a=(∛3)^3b=(⁵√5)^5c由於√2,∛3,⁵√5 皆 >1，故由上面結論知 2a,3b,5c 的大小次序與其底數√2,∛3,⁵√5相反。
所以以下比較√2,∛3,⁵√5的大小次序就行了。
[插個話: 由 y=x^(1/x) 在 x>e=2.718...呈遞減，知 ∛3>√2>⁵√5，因√2=4^(1/4)]。因(√2)^6=8,(∛3)^6=9,故 ∛3>√2
因(√2)^10=32,(⁵√5)^10=25,故 √2>⁵√5綜上得 ∛3>√2>⁵√5，所以 3b<2a<5c...答
----方法二:欲比較2a,3b大小，即決定(2a-3b)之正負。題目的a,b,c是出現於指數位置，故改為考慮 2^(2a-3b)與 1 (=2^0)之大小關係。
2^(2a-3b)=2^(2a)/2^(3b)=[(2^a)^2]/2^(3b)=[(3^b)^2]/2^(3b)=[(3^2)^b]/[(2^3)^b]=(9/8)^b>1 (因b>0) =2^0
("如何利用題目條件"指引了變形的方向)
故 2a-3b>0，即 2a>3b類似地，
2^(2a-5c)=2^(2a)/2^(5c)=[(2^a)^2]/2^(5c)=[(5^c)^2]/2^(5c)=[(5^2)^c]/[(2^5)^c]=(25/32)^c<1 (因c>0) =2^0
故 2a-5c<0，即 2a<5c綜上得 3b<2a<5c...答
2.這個級數和似乎沒有公式可利用，亦不易簡化，所以觀察一下 f(x)+f(y) 看看。f(x)+f(y)
=[4^x/(4^x+2)]+[4^y/(4^y+2)]
=[2*4^(x+y)+2(4^x+4^y)]/[4^(x+y)+2(4^x+4^y)+4]分子與分母相似度高，並注意到只要 4^(x+y)=4，則f(x)+f(y)=1。(分子與分母變相同)
即只要 x+y=1，則f(x)+f(y)=1。(至此就明朗了)f(1/101)+f(2/101)+........+f(100/101)
=[f(1/101)+f(100/101)]+[f(2/101)+f(99/101)]+...+[f(k/101)+f((101-k)/101)]
=1+1+...(共50項)
=50...答
3.設a,b為正數,且滿足a+b=1,則2^a+2^b的取值範圍?可利用圖形幫助了解: 作 y=2^x 的圖形(注意其凹向上性)。先取 a=0 (y=2^0),與 b=1 (y=2^1) (注意其不在題目範圍)觀察:
當a,b往彼此靠近(保持a+b=1)，2^a+2^b會漸減(減少的多，增加的少，因其凹向上性)，直至2^(1/2)+2^(1/2)為止(之後遠離又漸增)。或這樣觀察:連接(a,2^a)與(b,2^b)，此線段中點(x坐標=1/2)之y坐標(高度)即(2^a+2^b)/2，而這高度會隨a,b往彼此靠近而漸減。由上體會出，2^a+2^b 在 a=b=1/2 時有最小值2√2，而最大會趨近(但不等於)2^0+2^1=3即 2√2<= 2^a+2^b <3如果要"列式"，可:2^a+2^b>=2√(2^a*2^b)=2√[2^(a+b)]=2√2 (a=b=1/2 時"="成立) (2^a,2^b皆非負，可用算幾不等式)
或
(2^a+2^b)(2^b+2^a)>=(√2+√2)^2 (a=b=1/2 時"="成立) (柯西不等式)
2^a+2^b>=2√2 (因2^a+2^b>0)另一方面:
(2^a-1)(2^b-1)>0 (a,b>0,故2^a>1,2^b>1)
2^(a+b)-(2^a+2^b)+1>0
2^1 + 1>2^a+2^b
3>2^a+2^b綜上，得 2√2<= 2^a+2^b <3選(1)(2)(3)...答 [單選的話，或可選(1)]