高一數學2-2的一點問題

1.設x^2－3x－4除f(x)及g(x)之餘式分別為3x+2及－4x+7 試求x－4除
(2x+3)f(x)－(x+5)g(x)之餘式(我要算式)
Sol
設h(x)=(2x+3)f(x)－(x+5)g(x)
f(x)=p(x)(x^2－3x－4)+3x－2
g(x)=q(x)(x^2－3x－4)－4x+7
h(4)=11f(4)－9g(4)
=11*(12+2)－9(－16+7)
=154+81
=235

2.設f(x)為一多項式.若(x+1)f(x)除以x^2+x+1的餘式為5x+3 求f(x)除以
x^2+x+1的餘式 (要算式)Sol
設 f(x)=p(x)(x^2+x+1)+ax+b
(x+1)f(x)=p(x)(x+1)(x^2+x+1)+(x+1)(ax+b)
=p(x)(x+1)(x^2+x+1)+ax^2+bx+ax+b
=p(x)(x+1)(x^2+x+1)+a(x^2+x+1)－ax^2－ax－a+ax^2+bx+ax+b
=[p(x)(x+1)+a](x^2+x+1)+bx+(b－a)
b=5，b－a=3
a=2
f(x)除以x^2+x+1的餘式=2x+5

1. x^2-3x-4=(x-4)(x+1)
令 h(x)=(2x+3)f(x)-(x+5)g(x) 由餘式定理知
h(x)除以 (x-4)的餘式即為 h(4)
=11f(4)-9g(4)
=11*14-9*(-9)
=235

2.由除法的定義
f(x)=(x^2+x+1)Q(x)+(ax+b)
(x+1)f(x)=(x^2+x+1)*Q(x)*(x+1)+(ax+b)(x+1)
=(x^2+x+1)*Q'(x)+(5x+3)
也就是 (ax+b)(x+1) 除以 x^2+x+1的餘式為 5x+3
ax^2+(a+b)x+b=a(x^2+x+1)+(5x+3)
a+b=a+5, b=5
a+3=b, a=2
所求為 2x+5