請問版上有數據分析的高手能幫我解答一下嗎?

假設所求 P2(x)=a2x^2+a1x+a0, 把經過三點代入
{P2(x0)=a2x0^2+a1x0+a0=f(x0)
{P2'(x1)=2a2x1+a1=f'(x1)
{P2(x2)=a2x2^2+a1x2+a0=f(x2)
寫成矩陣型態，(a2, a1, a0) 為所求未知向量
[x0^2 x0 1][a2]=[f(x0) ], 依序令成 Aa=b
[2x1 1 0][a1] [f'(x1)]
[x2^2 x2 1][a0] [f(x2) ]
則解 (a2, a1, a0) 存在三種狀況：
1. A^-1 存在，則有唯一解
[a2]=A^-1*b
[a1]
[a0]
其他狀況，若 A^-1 不存在：
則存在 E 屬於 R^3*3 使得 E*A 包含整列皆 0
E 其實等價於一連串列運算
假設 E*A 第 i 列皆為 0, i 屬於 {1, 2, 3}
2. 若 E*b 第 i 個數字也為 0 則無窮多解
3. 若 E*b 第 i 個數字不為 0 則無解
之前 Sam 大大提出意見當中
A=[1 -1 1], b=[0], 把 A 經過三個列運算得
[0 1 0] [0]
[1 1 1] [2]
E=[1 0 0][ 1 0 0][1 1 0]=[ 1 1 0]
[0 1 0][ 0 1 0][0 1 0] [ 0 1 0]
[0 -1 1][-1 0 1][0 0 1] [-1 -2 1]
E*A=[1 0 1], E*b=[0]
[0 1 0] [0]
[0 0 0] [2]
E*A 第三列都是 0, 但 E*b 第三個數字為 2
代表 0a2+0a1+0a0=2 無解
根據題目意思，只在意是否存在無解的 f, x0, x1, x2
因此是有的，希望以上回答對您有幫助

Sorry!是where f, x0, x1, x2 are given and x0 < x1 < x2才對!

條件:
where f, x0, x1, x2 are given and x0 &lt; x1 < x2.
有亂碼，
where f, x0, x1, x2 are given and** x0 &lt**; x1 < x2.
請重新PO一次。

2012-09-12 01:26:43 補充：
請自己先驗證:
f(x)=x^3+x^2
x0=-1, x1=0, x2=1
找不到滿足:
P2(x0) = f(x0), P2'(x1) = f'(x1), P2(x2) = f(x2)
之二次ˇ多項式P2(x)=Ax^2+Bx+C。

在何種條件下有解(唯一解，及無窮多組解)，
何種條件下無解，比較詳細之想法及作法，
有時間再回答。

2012-09-14 21:19:31 補充：
醬油 ( 專家 4 級)的回答相當完整，我只做一些簡單之補充:
若令a=f(x0)，b=f(x2)，m=f`(x1)，
P2(x)=Ax^2+BX+C
則 (I)若 x0+x2-2x1 不等於 0則有唯一解其中:
A= [b-a-m(x2-x0)]/[(x2-x0)(x0+x2-2x1)], B, C 請自己算。
(II) 若 x0+x2-2x1 = 0
則有(i)若 b-a-m(x2-x0) 不等於 0，則為矛盾方程組，無A，B，C之解；
(ii) 若 b-a-m(x2-x0)=0，則為相依方程組，有無窮多組A，B，C之解，即有無窮多個P2(x)滿足條件。

2012-09-14 21:21:06 補充：
[例如]f(x)=1-cos(x) x0=-pi/2, x1=0, x2=pi/2，
P2(x)=Ax^2-(A*(pi)^2/4-1) 任意之實數A(有無窮多個實數)，
都滿足條件，
因為:
. f(-pi/2)=1,f(pi/2)=1,f`(0)=0;
P2(-pi/2)=1,P2(pi/2)=1,P2`(0)=0.

2012-09-14 21:35:20 補充：
這種問題一般歸類在近似理論，一般而言
一般之函數f(x)可能在研究(例如力學或其他問題)上太難時，
我們希望用一些較簡單(但不能太簡單，
如一次多項式p1(x)=ax+b時)，但保有原函數的某些重要性質，
這時多項式是相當適當的選擇，次數則以不失研究要點下
越小越好。線性外，2次不失為一個選擇。