e^-(λt^2)從無限大積到負無限大

因為 exp(-λt^2)是偶函數﹐所以考慮0至∞再將結果乘2即可

∫ exp(-λt^2) dt (0 -> ∞)= ∫ exp(-(√λt)^2) dt (0 -> ∞)

= 1/(√λ) ∫ exp(-(√λt)^2) d(√λt) (0 -> ∞)

= 1/(√λ) ∫ exp(-u^2) du (0 -> ∞) where u = √λt

= √π/(2√λ)

因此∫ exp(-λt^2) dt ( -∞ -> ∞)= √(π/λ)

例如∫ exp(-t^2) dt ( -∞ -> ∞)= √π

∫ exp(-2t^2) dt ( -∞ -> ∞)= √(π/2) ~ 1.2533

∫ exp(-3t^2) dt ( -∞ -> ∞)= √(π/3) ~1.0233

令u = √λ * t
這樣可以把exp裡面的常數換到外面OA O

a=∫e(-x^2)dx<0~t>a=∫e(-y^2)dy<0~t>a^2=∫∫e(-x^2*y^2)*dx*dy<0~t;0~t>極座標轉換: dA=dx*dy=rdQ*dr, r=x*ya^2=∫∫e(-r^2)r*dr*dQ<0~t;0~π/2>=∫e(-r^2)r*dr*Q=π/2*(-1/2)∫e(-r^2)d(-r^2) *0~t*=-π/4*e^(-r^2) *0~t*=π/4*[1-e(-t^2)]a=∫e(-x^2)dx=√{π*[1-e(-t^2)]}/2 e(-x^2)=偶函數-∞~∞可以改為2倍0~∞=>Limit<x->∞>e(-x^2)=0So a=2√π/2=√π