高一數學-數與數線

這題應該是要版大練習「算幾不等式」
即(x+y)/2 >= √x*y ，當x=y時等號成立

(2a+b)/2 >= √2a*b
=>2a+b >= 2*√36 =12 ---最小值

當2a=b時等號成立，代入
ab=18=> a*2a=18 => a=3
b= 2a = 6

※也可以2a=b時等號成立，代入2a=b=6(2a+b=12)

設a, b為正實數, 且ab=18, 求2a+b之最小值?
以及此a, b之值為?

利用(A-B)^2必大於或等於零。

(A-B)^2>=0

=>A^2-2AB+B^2>=0

=>A^2+2AB+B^2>=4AB

=>(A+B)^2>=4AB

所以A+B>=2*根號(AB)，或A+B=<-2*根號(AB)。

而利用題目，令A=2a，B=b，因為a，b>0，所以負的不合。

2a+b>=2*根號(2ab)=2*根號(2*18)=2*根號36=2*6=12。

所以2a+b最小值為12。

2a+b=12(1)

ab=18(2)

(1)=>b=12-2a(3)

(3)帶入(1)=>a(12-2a)=18
=>12a-2a^2=18
=>-a^2+6a-9=0
=>a^2-6a+9=0
=>(a-3)^2=0
=>a-3=0
=>a=3

a=3帶入(3)=>b=12-2*3=12-6=6。

ANS：2a+b最小為12；此時a=3，b=6。

2012-09-07 20:30:27 補充：
Yves 大大，他說是正實數，沒說是整數哦。

而且他說a，b均為正實數，您怎麼會用負數？

2012-09-07 20:32:26 補充：
忘了說^代表上標。a^2=a的二次方。

最"不聰明"的方法

ab=18
那麼有下列幾種可能
a=1,b=18或
a=2,b=9或
a=3,b=6或

a= - 1,b= - 18或
a= - 2,b= - 9或
a= - 3,b= - 6。

2a+b的最小值 一定是a跟b是負數的時候

2(-1)-18=-20
2(-2)-9=-13
2(-3)-6=-12

所以最小值是 - 20