數學因式分解和方程式問題

1.
(x + y)(x + 3y)² - (x + y)²(x + 3y)
= (x + y)(x + 3y)[(x + 3y) - (x + y)]
= (x + y)(x + 3y)[x + 3y - x - y]
= 2y(x + y)(x + 3y)


2.
x³ + 6x² + 12x + 8
= (x)³ + 3(x)²(2) + 3(x)(2)² + (2)³
= (x + 2)³


3.
9x⁴ + 35x² - 4
= 9(x²)² - 35(x²) - 4
= (9x² - 1)(x² + 4)
= [(3x)² - 1²](x² + 4)
= (3x + 1)(3x - 1)(x² +4)


4.
令 u = x - y
則 15(x - y)² + (x - y) - 2
= 15u² + u - 2
= (3u - 1)(5u + 2)
= [3(x - y) - 1] [5(x - y) + 2]
= (3x - 3y - 1)(5x - 5y + 2)


5.
令 u = a + b 及 v = a - b
則 (a + b)² - 5(a² - b²) + 4(a- b)²
= (a + b)² - 5(a + b)(a - b) +4(a - b)²
= u² - 5uv + 4v²
= (u - v)(u - 4v)
= [(a + b) - (a - b)] [(a + b) - 4(a - b)]
= [a + b - a + b] [a + b - 4a + 4b]
= 2b(5b - 3a)


6.
3a² - 6ax - 5ab + 13bx
= 3a² - (6x + 5b)a + 13bx
不能因式分解。

但 3a² - 6ax - 5ab + 10bx
= 3a² - (6x + 5b)a + 10bx
= (3a - 5b)(3a - 2x)


7.
a² - b² - c² + 2bc
= a² - (b² - 2bc + c²)
= a² - (b - c)²
= [a + (b - c)] [a - (b - c)]
= (a + b - c)(a - b + c)


8.
x⁴ - x³ + 2x² - x + 1
= (x⁴ + 2x² + 1) - (x³ + x)
= (x² + 1)² - x(x² + 1)
= (x² + 1)[(x² + 1) - x]
= (x² +1)(x² - x + 1)


9.
x² - y² + 2yz - z²
= x² - (y² - 2yz + z)²
= x² - (y - z)²
= [x + (y - z)] [x - (y - z)]
= (x + y - z)(x - y + z)


10.
abx² + (a² - b²)x - ab
= abx² + a²x - b²x - ab
= (abx² + a²x) - (b²x + ab)
= ax(bx + a) - b(bx + a)
= (ax - b)(bx + a)


11.
x² + xy - 2y² - 2x + 5y - 3
= (x² + xy - 2y²) + (-2x + 5y) - 3
= (x - y)(x + 2y) + [(x + 2y) - 3(x - y)] - 3
= [(x - y)(x + 2y) + (x + 2y)] - [3(x - y) + 3]
= (x + 2y)[(x - y) + 1) - 3[(x - y) + 1)
= (x + 2y - 3)(x - y + 1)


12.
(x - 5)/(2x + 1) = (x - 5)/(2x + 2)
(x - 5)(2x + 2) = (x - 5)(2x + 1)
(x - 5)(2x + 2) - (x - 5)(2x + 1) = 0
(x - 5)[(2x + 2) - (2x + 1)] = 0
(x - 5)(2x + 2 - 2x - 1) = 0
x - 5 = 0
x = 5


13.
2 - [5 / (x - 1)] = -3 / x(x - 1)
[2x(x - 1) - 5x] / x(x - 1) = -3 / x(x - 1)
2x(x - 1) - 5x = -3
2x² - 2x - 5x = -3
2x² - 7x + 3 = 0
(2x - 1)(x - 3) = 0
x = 1/2 or x = 3

1、（ｘ＋ｙ）（ｘ＋３ｙ）²－（ｘ＋ｙ）²（ｘ＋３ｙ）

提公因式 （ｘ＋ｙ）（ｘ＋３ｙ）

得（ｘ＋ｙ）（ｘ＋３ｙ）｛（ｘ＋３ｙ）－（ｘ＋ｙ）｝
＝（ｘ＋ｙ）（ｘ＋３ｙ）（ｘ＋３ｙ－ｘ－ｙ）
＝２ｙ（ｘ＋ｙ）（ｘ＋３ｙ）
　

Ａ：２ｙ（ｘ＋ｙ）（ｘ＋３ｙ）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

２、ｘ³＋６ｘ²＋１２ｘ＋８

這題有點tricky，我們要把６ｘ²分成２ｘ²＋４ｘ²

原式＝ｘ³＋２ｘ²＋４ｘ²＋１２ｘ＋８
＝　ｘ³＋２ｘ²　　＋　　　４ｘ²＋１２ｘ＋８
＝ｘ²（ｘ＋２）　＋　　４（ｘ²＋３ｘ＋２)
＝ｘ²（ｘ＋２）　＋　４（ｘ＋１）（ｘ＋２）　＜＝＝十字交成

再來就是提供因式（ｘ＋２）

原式＝（ｘ＋２）〔　ｘ²　＋４（ｘ＋１）　　〕
＝（ｘ＋２）（ｘ²＋４ｘ＋４）
＝（ｘ＋２）（ｘ＋２）（ｘ＋２）＜＝（ｘ²＋４ｘ＋４）作十字交成
＝（ｘ＋２）³

Ａ：（ｘ＋２）³

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

３、９ｘ⁴＋３５ｘ²－４

這題直接作十字交成

９ｘ²　╲╱　－１
　ｘ²　╱╲　＋４

９ｘ⁴＋３５ｘ²－４
＝（９ｘ²－１）（ｘ²＋４）
你以為這樣就乾淨了？要注意有沒有平方差的存在

＝（　　（３ｘ）²－１²　　）（ｘ²＋４）
＝（３ｘ＋１）（３ｘ－１）（ｘ²＋４）

Ａ：（３ｘ＋１）（３ｘ－１）（ｘ²＋４）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
４、１５（ｘ－ｙ）²＋（ｘ－ｙ）－２

這題也是直接十字交成

３（ｘ－ｙ）　╲╱　－１
５（ｘ－ｙ）　╱╲　＋２

（　　３（ｘ－ｙ）－１　　　）（　　　５（ｘ－ｙ）＋２　　）
（３ｘ－３ｙ－１）（５ｘ－５ｙ＋２）


Ａ：（３ｘ－３ｙ－１）（５ｘ－５ｙ＋２）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
５、（ａ＋ｂ）²－５（ａ²－ｂ²）＋４（ａ－ｂ）²

這題技巧在要把中間的ａ²－ｂ²分成（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）
然後再十字交成

原式＝（ａ＋ｂ）²－５（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＋４（ａ－ｂ）²

（ａ＋ｂ）╲╱－４（ａ－ｂ）
（ａ＋ｂ）╱╲　－（ａ－ｂ）

（　　（ａ＋ｂ）－４（ａ－ｂ）　　）（　　（ａ＋ｂ）－（ａ－ｂ）　　）

＝２ｂ（－３ａ＋５ｂ）＝－２ｂ（３ａ－５ｂ）

Ａ：－２ｂ（３ａ－５ｂ）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
６、３ａ²－６ａｘ－５ａｂ＋１３ｂｘ
這題我再想一下，我解不出來


＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
7、ａ²－ｂ²－ｃ²＋２ｂｃ
＝ａ²－（ｂ²＋ｃ²－２ｂｃ）＜＝差的平方公式(a-b)²=a²-2ab-b²
＝ａ²－（ｂ－ｃ）²
＝（　　ａ＋（ｂ－ｃ）　）（　ａ－（ｂ－ｃ）　）＜＝a²-b²=(a+b)(a-b)
＝（ａ＋ｂ－ｃ）（ａ－ｂ＋ｃ）

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８、ｘ⁴－ｘ³＋２ｘ²－ｘ＋１

這題技巧，你可以看係數還有正負號去想一下，再這裡我將２ｘ²拆成兩個ｘ²，待會兒你就知道了

ｘ⁴－ｘ³＋ｘ²＋ｘ²－ｘ＋１
＝ｘ²（ｘ²－ｘ＋１）＋（ｘ²－ｘ＋１）
提供因式
＝（ｘ²＋１）（ｘ²－ｘ＋１）

Ａ：（ｘ²＋１）（ｘ²－ｘ＋１）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
９、ｘ²－ｙ²＋２ｙｚ－ｚ²
＝ｘ²－（ｙ²－２ｙｚ＋ｚ²）
＝ｘ²－（ｙ－ｚ）²　＜＝＝之前講過
＝（　ｘ＋（ｙ－ｚ）　）（　ｘ－（ｙ－ｚ）　）
＝（ｘ＋ｙ－ｚ）（ｘ－ｙ＋ｚ）

Ａ：（ｘ＋ｙ－ｚ）（ｘ－ｙ＋ｚ）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
１０、ａｂｘ²＋（ａ²－ｂ²）ｘ－ａｂ

這題我原本享用十字交成，但是解不出來，我以我另外把它拆開

＝ａｂｘ²＋ａ²ｘ－ｂ²ｘ－ａｂ
＝ａｘ（ｂｘ＋ａ）－ｂ（ｂｘ＋ａ）
提供因式（ｂｘ＋ａ）
（ａｘ－ｂ）（ａ＋ｂｘ）

Ａ：（ａｘ－ｂ）（ａ＋ｂｘ）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
１１、ｘ²＋ｘｙ－２ｙ²－２ｘ＋５ｙ－３
用「雙十字交乘法」你可能沒聽過，但是我做給你看，應蓋就會有Ｆｕ了，其實就是把兩次的十字交成合而為一，懶人的作法＾＾

ｘ　╲╱　＋２ｙ　╲╱　－３
ｘ　╱╲　　－ｙ　╱╲　＋１

我先到這裡，我會再打，我字數有限制

2012-08-29 12:52:15 補充：
我來這鞭打好了
續我剛打的

前兩個
ｘ　╲╱　＋２ｙ
ｘ　╱╲　　－ｙ
￣￣￣￣￣￣￣￣
－ｘｙ＋２ｘｙ＝ｘｙ　符合題目中的ｘｙ

後兩個
＋２ｙ　╲╱　－３
　－ｙ　╱╲　＋１
￣￣￣￣￣￣￣￣￣
２ｙ＋３ｙ＝５ｙ　　也符合

前後

ｘ　╲╱　－３
ｘ　╱╲　＋１
￣￣￣￣￣￣￣￣
－３ｘ＋ｘ＝－２ｘ　　也符合
所以這題答案
（ｘ＋２ｙ－３）（ｘ－ｙ＋１）

2012-08-29 12:56:04 補充：
ｘ－５　　　ｘ－５
———　＝　———
２ｘ＋１　　２ｘ＋２

這題有兩個情形，０＝０，也就是ｘ－５＝０　　　　ｘ＝５

第二種情形　　ｘ－５≠０　　同除以ｘ－５
　得２ｘ＋１＝２ｘ＋２　　很明顯不合理，我以這題答案

Ａ：ｘ＝５

2012-08-29 13:01:19 補充：
　　　５　　　　　－３
２－———　＝　————
　　ｘ－１　　　ｘ²－ｘ

首先去分母，等號兩邊同乘以ｘ（ｘ－１）

２ｘ（ｘ－１）－５ｘ＝－３

２ｘ²－２ｘ－５ｘ＋３＝０
２ｘ²－７ｘ＋３＝０

２ｘ　╲╱　－１
　ｘ　╱╲　－３

（２ｘ－１）（ｘ－３）＝０
　
　　１
ｘ＝—　　ｏｒ　　３
　　２

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