MATH:証明無理數

假設 √2 + √3 + √5 + √7 = r 為有理數 , 則 (√2 + √5)² = ( r - (√3 + √7) )²
7 + 2√10 = r² - 2(√3 + √7)r + 10 + 2√21
2√10 = r² + 3 + 2√21 - 2(√3 + √7)r令有理數 2a = r² + 3 , 則
√10 = a + √21 - (√3 + √7)r
10 = a² + 21 + (√3 + √7)² r² + 2( a√21 - (√3 + √7)r√21 - a(√3 + √7)r )
10 = a² + 21 + 10r² + 2r²√21 + 2( a√21 - 3r√7 - 7r√3 - ar√3 - ar√7 )
0 = a² + 10r² + 11 + 2(r² + a)√21 - 2(3r + ar)√7 - 2(7r + ar)√3 令有理數 n = a² + 10r² + 11 , x = 2(r² + a) , y = 2(3r + ar) , z = 2(7r + ar) , 則
0 = n + x√21 - y√7 - z√3
(z√3 + y√7)² = ( n + x√21)²
3z² + 7y² + 2zy√21 = n² + 21x² + 2nx√21
√21 = (n² + 21x² - 3z² - 7y²) / (2zy - 2nx) 為有理數。設 √21 = p/q , (p , q 是互質整數) ,
平方得 21q² = p² ,
因 p , q 互質 , 故 p² 為 21 的倍數 , p 亦為 21 的倍數。
設 p = 21k ,
則 q² = 21k² , 因 p = 21k 與 q 互質 , k 亦與 q 互質 ,
故 q² 為 21 的倍數 , q 亦為 21 的倍數 , 這與 p , q 是互質整數茅盾。故 √21 為無理數 , 這與√21 = (n² + 21x² - 3z² - 7y²) / (2zy - 2nx) 為有理數茅盾,
故 √2 + √3 + √5 + √7 為無理數。

Note that: √2 is irrational and √2,√3,√5,√7>0
Therefore, √2+√3+√5+√7 is also irrational.