自己想的數學公式有錯嗎?國三

2012-08-27 1:28 am

昨天在做國三的題目
拿一條20的繩子在河邊圍一個矩形，靠河的邊不用圍，最大可圍多少?
一般算法都是設矩形寬x 長20-2x
面積x(20-2x)=20x-2x²=-2(x²-10x)
=>-2(x²-10x)配方=-2(x²-10x+25)+50=-2(x-5)²+50 最大可圍50

昨天寫這題目時一開始不知道怎麼算但已知道答案是50 所以就開始思考20跟50之間的關聯性

後來被我想到這個公式令繩子長度為x 最大面積為(x/2)²/2
有點亂就是二分之x的平方再二分之一
像上面那題 x代20 20/2=10 10²=100 100/2=50

我是過其他題目繩長40的算出來面積200 沒錯
繩長100算出來面積1250 也沒錯

那這個公式算可以用了?

更新1:

我高一我只是當時想20跟50的關連性時原本朝2.5倍的方向想但代別題都錯就改成想20跟100的關連幾經波折後就想到了我有找過老師他說很厲害但要當公式必須證明

更新2:

我只是想說我想出這個根本沒用甚麼正確方法去想完全是歪打正著的

回答 (5)

[匿名]

2012-08-27 6:10 am

✔ 最佳答案

假設繩長為L
矩形寬X 長L-2X
面積為：
X(L-2X)
=-2X^2+LX
=-2(X^2-(L/2)X+(L/4)^2)+2*(L/4)^2
=-2(X-(L/4))^2+(L^2)/8

所以當寬為L/4 長為L-2*L/4=L/2時
得最大面積為(L^2)/8

能有這種思維是不錯
但是高中的課程題目變化多端
如果想針對一種題型而想出公式是不太可能
且容易忘記公式
所以我建議這種公式玩玩而已
背起來就沒什麼意義了呢
希望你對數學能繼續保持熱情以及你的想像力
排列組合正是考驗你對數學想像力以及邏輯思維
加油

2012-08-26 22:21:13 補充：
順代一提
高中碰到求最大最小值
方法約5種
1.配方法(就如上面那題)
2.算幾不等式
((a+b)/2>=根號ab 前提a,b均大於0)
3.柯西不等式
((a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(ac+bd)^2)
4.三角函數範圍(正餘弦疊合)
-1<=sin角A<=1
-1<=cos角A<=1
-根號2<=sin角A+cos角A<=根號2
5.微分

等你學到高2就看懂了加油

2012-08-26 22:22:55 補充：
微分高3自然組才會學到加油

2012-08-27 19:28:37 補充：
經過Yee的提示
可使用算幾不等式解題
解法如下：
假設繩長為L
矩形寬X 長L-2X
面積假設為A=L(L-2X)
因為X>0,L-2X>0
[2X+(L-2X)]/2>=√[2X(L-2X)]
L/2>=√2A
2A<=(L/2)^2
A<=(L^2)/8
等號成立時
得面積A的最大值為(L^2)/8
此時2X=L-2X
所以X=L/4

2012-08-27 19:31:13 補充：
微分也能算出答案
不過沒那個必要
配方即可

參考: , ありがとうございます, 升高3偷學微積分的我

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