Inequalities :::::::::::::::::

[匿名]

2012-08-22 10:32 pm

Let a_i , b_i , c_i , d_i (i=1,2,...,n) be 4 sets of real numbers. Show that

[∑(i=1,n) (a_i)^4] [∑(i=1,n) (b_i)^4] [∑(i=1,n) (c_i)^4] [∑(i=1,n) (d_i)^4]
>=[∑(i=1,n) (a_i) (b_i) (c_i) (d_i) ]^4

Hence deduce that

[∑(i=1,n) (a_i)^3] [∑(i=1,n) (b_i)^3] [∑(i=1,n) (c_i)^3]
>=[∑(i=1,n) (a_i) (b_i) (c_i) ]^3

回答 (1)

用戶2053

2012-08-23 12:33 am

✔ 最佳答案

By Cauchy–Schwarz inequality twice ,

( ∑(i=1,n) (ai)⁴* ∑(i=1,n) (bi)⁴) * ( ∑(i=1,n) (ci)⁴* ∑(i=1,n) (di)⁴)

≥ ( ∑(i=1,n) (ai bi)² )² * ( ∑(i=1,n) (ci di)² )²
= ( ∑(i=1,n) (ai bi)² * ∑(i=1,n) (ci di)² )²

≥ ( ( ∑(i=1,n) ai bi ci di )² )²
= ( ∑(i=1,n) ai bi ci di )⁴

Put ai = a i ³ˡ ⁴, bi = bi ³ˡ ⁴, ci = ci ³ˡ ⁴, di = (ai bi ci )¹ˡ ⁴ :

∑(i=1,n) (ai³ˡ ⁴)⁴∑(i=1,n) (bi³ˡ ⁴)⁴ ∑(i=1,n) (ci³ˡ ⁴)⁴∑(i=1,n) ((ai bi ci )¹ˡ ⁴)⁴
≥ ( ∑(i=1,n) (ai bi ci)³ˡ ⁴(ai bi ci )¹ˡ ⁴)⁴

⇒

∑(i=1,n) ai³ ∑(i=1,n) bi³ ∑(i=1,n) ci³ ∑(i=1,n) ai bi ci ≥ ( ∑(i=1,n) ai bi ci )⁴

⇒

∑(i=1,n) ai³ ∑(i=1,n) bi³ ∑(i=1,n) ci³ ≥ ( ∑(i=1,n) ai bi ci )³

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