Calculus - Q1

需要利用以下性質:
函數f(x) 在[a,b]連續, 且f(a)f(b)<0, 必有一 c 屬於(a, b) 存在, 使得 f(c) =0.

証明:
設g(x)=f(x)-f(x+1/2).則g(x)在[0,1/2]連續
g(0)=f(0)-f(1/2); g(1/2)=f(1/2)-f(1).
f(0)=f(1)⇒ g(0)=-g(1/2)
若g(0)=0, 則f(0)-f(1/2)=0⇒f(0)=f(1/2)。故c=0.
若g(0)≠0, 則g(0)g(1/2)<0.根據上述性質,必有一 c 屬於(0,1/2) 存在, 使得 g(c) =0.
從而f(c)-f(c+1/2)=0⇒f(c)=f(c+1/2)

想不起類似的存在問題。上述性質和中值定理算嗎?