中三級數學題(1)

(a)
由於H是ΔABC的垂心，所以AHD⊥BC、BHE⊥CA和CHF⊥AB。

ΔHBC面積 / ΔABC面積 = [(1/2)•HD•BC]/ [(1/2)•AD•BC] = HD/AD
ΔHBC面積 / ΔABC面積 = HD/AD...... [1]

ΔHCA面積 / ΔABC面積 = [(1/2)•HE•CA]/ [(1/2)•BE•CA] = HE/BE
ΔHCA面積 / ΔABC面積 = HE/BE...... [2]

ΔHAB面積 / ΔABC面積 = [(1/2)•HF•AB]/ [(1/2)•CF•AB] = HF/CF
ΔHAB面積 / ΔABC面積 = HF/CF ...... [3]

[1] + [2] + [3] :
(ΔHBC面積 + ΔHCA面積 + ΔHAB面積) / ΔABC面積 = HD/AD + HE/BE + HF/CF

但 ΔHBC面積 + ΔHCA面積 + ΔHAB面積 = ΔABC面積
所以 ΔABC / ΔABC面積 = HD/AD + HE/BE + HF/CF
所以 HD/AD + HE/BE + HF/CF = 1


(b)
由上得： HD/AD + HE/BE + HF/CF = 1
(AD - AH)/AD + (BE - BH)/BE + (CF - CH)/CF = 1
(1 - AH/AD) + (1 - BH/BE) + (1 - CH/CF) = 1
3 - (AH/AD + BH/BE + CH/CF) = 1
所以AH/AD + BH/BE + CH/CF = 2