無理函數的定義域和值域

1) 3x - 5 + √(10 - 7x)
3x - 5 + √(10 - 7x)
√(10 - 7x) ≥ 0
x ≤ 10/7
f(x) 定義域為 (- ∞ , 10/7]。令 y = √(10 - 7x) , 則 x = (10 - y²)/7 ,
f(x) = 3(10 - y²)/7 - 5 + y
= (-3/7)y² + y - 5/7
= (-3/7) ( y² - 2(7/6)y + 49/36 - 49/36 ) - 5/7
= (-3/7) (y - 7/6)² + 3/7 * 49/36 - 5/7
= (-3/7) (y - 7/6)² - 11/84因 y = √(10 - 7x) ≥ 0 , y 取 7/6 得 f(x) 最大值為 - 11/84。
故 f(x) 值域為 (- ∞ , - 11/84) 。
2) √((1-x)(x-2)) ≥ 0
(x - 1)(x - 2) ≤ 0
1 ≤ x ≤ 2
f(x) 定義域為 [1 , 2] 。f(x) = 2x - 3 + √((1-x)(x-2))令 x - 1 = a + 1/2 , x - 2 = a - 1/2 , (- 1/2 ≤ a ≤ 1/2)
f(x) = (x - 1) + (x - 2) + √ ( - (x - 1)(x - 2) )
= 2a + √ (1/4 - a²)
當 a 取 - 1/2 時 , f(x) 最小值為 - 1。令 y = 2a + √ (1/4 - a²)
y² - 4ya + 4a² = 1/4 - a²
5a² - 4ya + y² - 1/4 = 0
因 a 為實數 , △ = 16y² - 20(y² - 1/4) ≥ 0
5 - 4y² ≥ 0
(2y - √5) (2y + √5) ≤ 0
- √5/2 ≤ y ≤ √5/2
y 最大值 √5/2 在 a = √5/5 時取到 , 符合 - 1/2 ≤ a ≤ 1/2 。故 f(x) 值域為 [- 1 , √5/2]。
3)√(x - 4) ≥ 0
x ≥ 4
f(x) 定義域為 [ 4 , +∞ )。f(x) = x² + 2x - 2 + √(x - 4)
當 x = 4 , f(x) 取最小值 22。故 f(x) 值域為 [22 , +∞)。
4) √(x + 2) ≥ 0
x ≥ - 2
f(x) 定義域為 [ -2 , +∞ )。f(x) = x - 1 + (2x + 3) √(x + 2)令 y = √(x + 2) , 則
f(x) = y² - 3 + (2y² - 1)y = 2y³ + y² - y - 3設 f '(y) = 6y² + 2y - 1 = 0
得正根 y = (√7 - 1)/6 。 ∴ f(x) = 2y³ + y² - y - 3 = y(2y - 1)(y + 1) - 3 的最小值
= (√7 - 1)/6 (2(√7 - 1)/6 - 1) (√7 - 1)/6 + 1 ) - 3
= (√7 - 1)/6 (√7 - 4)/3 (√7 + 5)/6 - 3
= (11 - 5√7) (√7 + 5) / 108 - 3
= (20 - 14√7) / 108 - 3
= (- 152 - 7√7) / 54故f(x) 值域為 [ (- 152 - 7√7) / 54 , +∞ )。