高一數學運算

(1/1x2x3x4)+(1/2x3x4x5)+.....+[1/n(n+1)(n+2)(n+3)]
=(1/18)-[1/3(n+1)(n+2)(n+3)] ==>原式=(1/18)-[1/3(99+1)(99+2)(99+3)]
=(1/18)-(1/(3*100*101*102))
=57233/1030200

2012-08-11 13:48:07 補充：
上式公式網路找的

正常像二樓兩項相減削去中間項剩下項再加減
更高段像知識長所作用總和分組算

這個問題呢，一般是這樣解:
利用
1/n(n+1)(n+2)(n+3)= (1/3)x[1/n(n+1)(n+2)-1/(n+1)(n+2)(n+3)]
(把右式通分一下就知道)

為什麼要這樣變形?因為:
1/n(n+1)(n+2) 與 1/(n+1)(n+2)(n+3) 有相同型式(分母皆3連續整數之積)，
左項的 n 加 1 後，就變右項了，而這"變相同"是以下稱為"分項對消法"之基礎:

2012-08-11 21:12:54 補充：
1/(1x2x3x4)+1/(2x3x4x5)+1/(3x4x5x6)......+1/(99x100x101x102)
=(1/3)x[1/(1x2x3)-1/(2x3x4)] (上式第1項)
+(1/3)x[1/(2x3x4)-1/(3x4x5)] (上式第2項)
+(1/3)x[1/(3x4x5)-1/(4x5x6)] (上式第3項)
...
...
+(1/3)x[1/(99x100x101)-1/(100x101x102)] (上式第99項)

2012-08-11 21:13:04 補充：
注意到:某一行之後項皆可與次一行之前項對消("分項對消")，於是只剩
第1項(1/3)x[1/(1x2x3)] 與 最後1項 (1/3)x[-1/(100x101x102)]
即(1/3)x[1/(1x2x3)-1/(100x101x102)]，這是"公式"之由來。

很多"級數和"之題型均可用此"分項對消"技巧，熟練了腦海想一下就知剩那些項。
分成"型式相同的2項之差"是本技巧之精華所在。

2012-08-11 21:22:17 補充：
所以如果考:

1/(1x2x3x4x5)+1/(2x3x4x5x6)......+1/(98x99x100x101x102)

那就利用:
1/n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)= (1/4)x[1/n(n+1)(n+2)(n+3)-1/(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]

餘類推。

1/(1*2*3*4)+1/(2*3*4*5)+1/(3*4*5*6)......+1/(99*100*101*102)=?
Sol
設6/[n(n+1)(n+2)(n+3)=a/n+b/(n+1)+c/(n+2)+d/(n+3)
6=a(n+1)(n+2)(n+3)+bn(n+2)(n+3)+cn(n+1)(n+3)+dn(n+1)(n+2)
when n=0，6=a(1)(2)(3)，a=1
when n=－1，6=b(－1)(1)(2)，b=－3
when n=－2，6=c(－2)(－1)(1)，c=3
when n=－3，6=d(－3)(－2)(－1)，d=－1
So
6/[n(n+1)(n+2)(n+3)=1/n－3/(n+1)+3/(n+2)－1/(n+3)
A=1/(1*2*3*4)+1/(2*3*4*5)+1/(3*4*5*6)......+1/(99*100*101*102
6A=Σ(k=1 to 99)_6/[k(k+1)(k+2)(k+3)]
=Σ(k=1 to 99)1/k－3Σ(k=1 to 99)1/(k+1)+3Σ(k=1 to 99)1/(k+2)
－Σ(k=1 to 99)1/(k+3)
=(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+……….+1/94+1/95+1/96+1/97+1/98+1/99)
－(3/2+3/3+3/4+3/5+3/6+3/7+……….+3/95+3/96+3/97+3/98+3/99+3/100)
+(3/3+3/4+3/5+3/6+3/7+3/8+………+3/96+3/97+3/98+3/99+3/100+3/101)
－(1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+……….+1/97+1/98+1/99+1/100+1/101+1/102)
=(1/1+1/2+1/3)－(3/2)+(3/101)－(1/100+1/101+1/102)
=57233/171700
A=57233/1030200

利用

1/n(n+1)(n+2)(n+3) =[ 1/n(n+3) - 1/(n+1)(n+2) ] / 2

2012-08-11 11:00:01 補充：
1/n(n+3) = [1/n - 1/(n+3)] / 3

1/(n+1)(n+2) = 1/(n+1) - 1/(n+2)

全部拆開, 消去中間項, 然後再計算

2012-08-11 11:08:27 補充：
原式
=[1/1x4 - 1/2x3 + 1/2x5 - 1/3x4 + 1/3x6 - 1/4x5 + 1/4x7 - 1/5x6+....]/2

2012-08-11 11:10:44 補充：
= [ (1/1 -1/4 + 1/2 - 1/5 + 1/3 - 1/6 + 1/4 - 1/7 + ....)/3 - (1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 +....) ]/2

2012-08-11 11:12:15 補充：
= [ (1/1 + 1/2 + 1/3 - 1/100 - 1/101 - 1/102)/3 - (1/2 - 1/102) ]/2 .... 消去中間項

2012-08-11 11:14:32 補充：
剩下的小學生都會做啦 ^^

2012-08-11 21:53:34 補充：
挖賽!

意見的 1F 方法最簡單! ^^

2012-08-11 22:11:03 補充：
意見 1F 的

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