f.4 math

By given ,
sinB / sinA = cos(A+B)
sinB / sinA = cosA cosB - sinA sinB
tanB / sinA = cosA - sinA tanB
tanB = sinA cosA - sin²A tanB
tanB (1 + sin²A) = sinA cosA
tanB = sinA cosA / (1 + sin²A) ... (*)
∴ tan(A+B)
= (tanA + tanB) / (1 - tanA tanB) , By (*) :
= (tanA + sinA cosA / (1 + sin²A)) / (1 - tanA sinA cosA / (1 + sin²A))
= (tanA (1 + sin²A) + sinA cosA) / (1 + sin²A - tanA sinA cosA)
= tanA (1 + sin²A) + sinA cosA
= tanA + tanA sin²A + sinA cosA
= tanA + tanA (1 - cos²A) + sinA cosA
= tanA + tanA - sinA cosA + sinA cosA
= 2tanA