幾何證明與面積運算

1.證明:圓的內接梯形必為等腰梯形圓內接梯形 => 兩條水平線必定平行它們所夾的圓弧必定相等所以形成等腰梯形
2.三角形ABC中，設角A之分角線與角B之分角線交點 I，直線AI交線段BC於點D，若線段AB=c，線段BC=a，線段CA=b，證明線段AI:線段ID=(b+c):aΔABD裡面: BI=角平分線得到: AI/ID=c/BD..........pΔABC裡面: AD=角平分線得到: BD/(a-BD)=c/b => BD/a=c/(c+b)......合比Then BD=ac/(c+b) 代入p:AI/ID=c/BD=(b+c)c/ac=(b+c)/a.........Q.E.D
3.設a大於b大於0，半徑a的圓O1與半徑b的圓O2外切，一外公切線段PQ(1)試以a b表示線段PQ長Let A=O1 & B=O2, P切圓A & Q切圓B, 做BR垂直PA交於R點ΔABR: BR=PQ, AB=a+b, AR=a-b商高定理: PQ=√[(a+b)^2-(a-b)^2]=√(2a*2b)=2√(ab).............ans
(2)若圓O3與圓O1圓O2外切，以及與線段PQ相切，求圓O3之半徑r=以a b表示Let C=O3, 連接AC=a+r, 連接BC=b+r過C點做DE//PQ則: AD=a-r, BE=b-r商高定理:√[(a+r)^2-(a-r)^2]+√[(b+r)^2-(b-r)^2]=2√(ab)√[r(2a-r)]+√[r(2b-r)]=2√(ab)兩邊平方: r(2a-r)+r(2b-r)+2r√[(2a-r)(2b-r)]=4(ab)r√[(2a-r)(2b-r)]=r^2-(a+b)r+2ab兩邊再平方: r^2[r^4-2(a+b)r^2+4ab]=r^4+[(a+b)r]^2+4(ab)^2-2(a+b)r^3+4abr^2-4ab(a+b)r0=[(a+b)r]^2-4ab(a+b)r+4(ab)^2=[(a+b)r-2ab]^2r=2ab/(a+b)..............ans
4.一梯形之上底與下底相距h=6公分，兩腰中點的連線段長(a+b)/2=7公分
試求這梯形面積。A=h(a+b)/2=6*7=42平方公分.............ans

因為若設此圓內接梯形為ABCD，且AB平行CD，則角ACD=(1/2)弧AD(圓周角=1/2對應弧度)，角BAC=(1/2)弧BC。
又角ACD=角BAC(因為內錯角相等)，所以弧AD=弧BC

兩條水平線必定平行
它們所夾的圓弧必定相等.
[Q]
為什麼?