解絶對值不等式(組)兩題

1. 解不等式組：
1 ≤ |x² – 1| < 3 --- (1)
{
4 < |2x + 3| ≤ 7 --- (2)
解：
由(1)，得：
x² – 1 ≥ 1 或 x² – 1 ≤ -1
{
-3 < x² – 1 < 3

x ≥ √2 或 x ≤ -√2 或 x = 0
{
-2 < x < 2

==> -2 < x ≤ -√2 或 x = 0 或 √2 ≤ x < 2

由(2)，得：
2x + 3 > 4 或 2x + 3 < -4
{
-7 ≤ 2x + 3 ≤ 7

x > 1/2 或 x < -7/2
{
-5 ≤ x ≤ 2

==> -5 ≤ x < -7/2 或 1/2 < x ≤ 2

∴原不等式組的解集為 {x | √2 ≤ x < 2}.


2. 解不等式：
18 < |-6x² + x + 1| + |6x² + x – 1| < 22
解：
18 < |6x² – x – 1| + |6x² + x – 1| < 22
18 < |(2x – 1)(3x + 1)| + |(2x + 1)(3x – 1)| < 22

(1) 當(2x – 1)(3x + 1) < 0且(2x + 1)(3x – 1) < 0，即 -1/3 < x < 1/3 時：
18 < (-6x² + x + 1) + (-6x² – x + 1) < 22
18 < -12x² + 2 < 22
-5/3 < x² < -4/3 (不合)

(2) 當(2x – 1)(3x + 1) ≥ 0且(2x + 1)(3x – 1) < 0，即 -1/2 < x ≤ -1/3 時：
18 < (6x² – x – 1) + (-6x² – x + 1) < 22
18 < -2x < 22
-11 < x < -9 (不合)

(3) 當(2x – 1)(3x + 1) < 0且(2x + 1)(3x – 1) ≥ 0，即 1/3 ≤ x < 1/2 時：
18 < (-6x² + x + 1) + (6x² + x – 1) < 22
18 < 2x < 22
9 < x < 11 (不合)

(4) 當(2x – 1)(3x + 1) ≥ 0且(2x + 1)(3x – 1) ≥ 0，即 x ≤ -1/2 或 x ≥ 1/2 時：
18 < (6x² – x – 1) + (6x² + x – 1) < 22
18 < 12x² – 2 < 22
5/3 < x² < 2
-√2 < x < -(√15)/3 或 (√15)/3 < x < √2
∴ -√2 < x < -(√15)/3 或 (√15)/3 < x < √2

∴ 原不等式的解集為{x | (-√2 < x < -(√15)/3 或 (√15)/3 < x < √2}.