(急)我想問呢條數學歸納法要點做?

證n^3+5n可被6整除

(1) 若 n=1,
則 1^3+5x1=1+5=6 可被6整除
所以當n=1時, n^3+5n 可被6整除

(2) 設 n=k 時, k^3+5k可被6整除
即k^3+5k=6N 其中N為整數

當n=k+1時,
(k+1)^3+5(k+1)
=(k^3+3k^2+3k+1)+(5k+5)
=(k^3+5k)+(3k^2+3k+6)
=6N+(3k^2+9k+6)-6k
=6N-6k+3(k^2+3k+2)
=6N-6k+3(k+1)(k+2)

(i) 若k為奇數, 則k+1為偶數
令k+1=2M
(k+1)^3+5(k+1)
=6N-6k+3(2M)(k+2)
=6[N-k+M(k+2)] 可被6整除

(ii) 若k為偶數, 則k+2亦為偶數
令k+2=2M
(k+1)^3+5(k+1)
=6N-6k+3(k+1)(2M)
=6[N-k+M(k+1)] 可被6整除

因此若 n=k 時, k^3+5k 可被6整除,
則 n=k+1 時, (k+1)^3+5(k+1) 亦可被6整除

因為當n=1時, n^3+5n可被6整除, 所以n^3+5n可被6整除