集合論 - 等價關係

若 for all a in A 存在 b in A such that aRb,
則可推出 aRa.

但 R 即使滿足 symmetric 及 transitive, 並不
保證 for all a in A 存在 b in A such that aRb,
因此不保證 for all a in A, aRa.

2012-08-04 19:53:32 補充：
Wiki:
http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_relation

In mathematics, a binary relation on a set A is a collection of ordered pairs of elements of A. In other words, it is a subset of the Cartesian product A^2 = A × A. More generally, a binary relation between two sets A and B is a subset of A × B.

2012-08-04 19:53:43 補充：
若要說 "binary relation" 需要什麼條件是上列說明未列出的, 可能是
"nonempty" 吧? 因為如果 R 是 empty, 那就沒意思了.

不過, 確切的定義我想還是查教本比較保險.

2012-08-06 14:52:00 補充：
舉個實例確實有助於了解:

設 A={1,2,3} (如 TimC 所設).
設 R={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)}.
則 R 滿足 symmetric 但不滿足 transitive 及 reflexive.
設 R={(1,2),(2,3),(1,3)}.
則 R 滿足 transitive 但不滿足 symmetric 及 reflexive.
設 R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)}.
則 R 滿足 reflexive, 但不滿足 symmetric 及 transitive.
設 R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}
則 R 滿足 reflexive 及 symmetric, 但不滿足 transitive.
設 R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)}
則 R 滿足 reflexive 及 transitive, 但不滿足 symmetric.
設 R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)}
則 R 滿足 symmeitric 及 transitive 但不滿足reflexive.
因此, equivalence relation 中要求的三個條件缺一不可.
例如 R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3)} 同時滿足三個條件,
它是一個 equivalence relation. 它把 A 分割成 {1,2} 及 {3}
兩個等價班(equivalent classes)..

原來這樣~ 老怪物大大.
那麼, binary relation 中的 R.
是不是有確切的條件?
而不是只有R ⊂ AxA, (a,b) ∈ R, 就說a R b ( a 和 b 是有關係 ).

老怪物大大的意思是
A裡面是1,2,3 只有(1,2) (2,1) (1,1) (2,2) 對嘛OA O
(3根本被忽略掉)

我原本以為是當A裡面只有1的時候...(ry