關於常數"e"的問題

高萌度數學娘

2012-08-03 8:51 pm

如題,這是最近在做習題所遇到的問題,想了好久都想不出來,懇請各位大師指導

定義數列{en}為en=[1+(1/n)]^n
(1)請證明en收斂值純小於3
這裡我做到en<e(n+1)而且2<=en<3 ,for all n
可是這只能說明en收斂值<=3,要如何把下界壓下去?

(2)定義數列{dn}為dn=[1+(1/n)]^(n+1),請證明{dn}為遞減
這題題目說可以用類似證明{en}遞增的方式作
當初{en}遞增我是用二項式展開,而且逐項比較,發覺每一項
C(n+1,k)[1/(n+1)^k]均大於等於C(n,k)[1/n^k]
然後從k=0取和至n,那e(n+1)展開式比en多一項正項,當然加上去還是大於
可是dn我證明了C(n+2,k+1)[1/(n+1)^(k+1)]均小於等於C(n+1,k)[1/n^k]
k=1 ,2...n+1
但是結果是dn+1比dn多了一項正項,所以我無法確認是否{dn}為遞減
請問這題這樣該怎麼處理?(請不要用到微分概念)

在此先謝過各位大師!!另外由於我電腦壞掉,現在用網咖的電腦打字,無法用方程式編輯器,導致符號有點難看,跟各位說聲抱歉

回答 (1)

老怪物

2012-08-03 10:57 pm

✔ 最佳答案

定義數列{en}為en=[1+(1/n)]^n
(1)請證明en收斂值純小於3
這裡我做到en<e(n+1)而且2<=en<3 ,for all n
可是這只能說明en收斂值<=3,要如何把下界壓下去?

e_{n+1}/e_n = [(n+2)/(n+1)]^{n+1}/[(n+1)/n]^n
= (n+2)/(n+1)．[n(n+2)/(n+1)^2]^n
= [1+1/(n+1)]．[1-1/(n+1)^2]^n
≧ [1+1/(n+1)]．[1-n/(n+1)^2] = 1+1/(n+1)^3 > 1.
e_n = (1+1/n)^n = Σ_{k=0}^n C(n,k)(1/n)^k
≦Σ_{k=0}^n 1/k! = 1+1+1/2!+1/3!+...+1/n!
≦ 2+1/2+1/2(1+1/3+...+1/3^{n-2}) ≦ 23/8 < 3
e_n ↑ and e_n≦23/8 < 3
故 e_n 收斂, 且極限小於 3.

(2)定義數列{dn}為dn=[1+(1/n)]^(n+1),請證明{dn}為遞減
這題題目說可以用類似證明{en}遞增的方式作
d_{n+1}/d_n = [(n+2)/(n+1)]^{n+2}/[(n+1)/n]^{n+1}
= (n+2)/(n+1)．[n(n+2)/(n+1)^2]^{n+1}
= [1+1/(n+1)]．[1-1/(n+1)^2]^{n+1}
≦ [1+1/(n+1)]．[1-1/(n+1)+n(n+1)/2．1/(n+1)^4]
= [1+1/(n+1)]．{1-1/(n+1)+1/[2(n+1)^2]}
= 1-1/[2(n+1)^2]+1/[2(n+1)^3] < 1
故 d_n 遞減.

2012-08-03 20:47:35 補充：
Σ_{k=0}^n 1/k! = 1+1+1/2!+1/3!+...+1/n!
≦ 2+1/2(1+1/3+...+1/3^{n-2}) ≦ 11/4 < 3

原回答算錯...雖然方法是對的.

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