高中數學 三角函數 20點

1.三角形ABC中 AB=7，BC=3，CA=5 則 (1)SinB= 3/5 (2)SinB= 3/7
(3)CosB=5/7 (4)CosB=11/14
Sol
CosB=(49+9-25)/(2*7*3)=33/42=11/14
SinB=5√3/14
(4)

2.如圖: AC=BC，AD：DC=3：2，則Tanθ=?
Sol
設AD=3x，DC=2x
BD=(√29)x
AB=(√50)x
Cosθ=(50+29-9)/(2*√29*√50)=7/√58
Tanθ=3/7

1.第一題若不用餘弦定理，也可用海龍公式:

(1/2)*7*3*sinB=√[(15/2)*(1/2)*(9/2)*(5/2)]
sinB=5√3/14
cosB=11/14 (B是銳角)

當然，用國中方法，作BC上的高，再用畢氏定理解方程亦可:
49-(3+x)^2=25-x^2
x=5/2
cosB=[3+(5/2)]/7=11/14

2.用tanθ的和角公式亦簡明。

tanθ
=tan(∠ABC-∠DBC)
=(tan∠ABC-tan∠DBC)/(1+tan∠ABC*tan∠DBC)
=(1-2/5)/[1+1*(2/5)]
=(3/5)/(7/5)
=3/7

1.三角形ABC中 AB=7 BC=3 CA=5 則 (1)sinB= 3/5 (2)sinB= 3/7

(3)cosB=5/7 (4)cosB=11/14 答案是4


運用餘弦定理(b^2)=(a^2)+(c^2)-2ac(cosB)

(5^2)=(7^2)+(3^2)-2(7)(3)cosB

25=49+9-42cosB

42cosB=33

cosB=33/42

=11/14

之後畫出直角三角形

斜邊AB線段長為14 , 底邊BC線段長為11

則運用畢氏定理解出對邊AC線段長

=根號(196-121)

=根號(75)

=5(根號3)

so sinB=[5(根號3)] / 14

故選(4)




2.如圖: AC=BC , AD:DC=3:2 ,則tanθ=? (3/7)

(圖在這邊:http://www.flickr.com/photos/79991584@N05/7682783932/in/photostream)


設AD線段長為3r , CD線段長為2r

則BC線段長為3r+2r=5r

斜邊AB線段長為(5根號2)r [ 註:運用45度角1:1:(根號2) ]

BD線段長=根號[ (5r)^2+(2r)^2 ]

=根號(29r^2)

=(根號29)r

運用餘弦定理(b^2)=(a^2)+(d^2)-2ad(cosB)

(3r)^2=[ 5(根號2)r ]^2+[ (根號29)r ]^2-2[ (5根號2)r ][ (根號29)r ]cosθ

9(r^2)=50(r^2)+29(r^2)-10(根號58)(r^2)cosθ

10(根號58)(r^2)cosθ=70(r^2)

cosθ=[ 70(r^2) ] / [ 10(根號58)(r^2) ]

=70 / [10(根號58) ]

=7 / (根號58)

之後畫出直角三角形

斜邊長為(根號58) , 底邊長為7

則運用畢氏定理解出對邊長

=根號[ (根號58)^2-(7^2) ]

=根號(58-49)

=根號(9)

=3

so tanθ=3/7

感謝 學校還沒交道 所以不太會 現在了解了 感謝二位

2題 都用餘弦定理