多項式的兩個問題

1.若x平方- 3x+1=0 , 則x平方+ x平方分之一= ??

x^2-3x+1=0

先同除以x

變成x-3+(1/x)=0

x+(1/x)=3

so x^2+[1/(x^2)]

=[x+(1/x)]^2-2(x)(1/x)

=[x+(1/x)]^2-2

=3^2-2

=9-2

=7




2.下列何者為方程式(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)=120的正整數解??

先分組

(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)=120

變成[ (x+2)(x-4) ] [ (x+3)(x-5) ]=120

(x^2-2x-8)(x^2-2x-15)-120=0

令x^2-2x=A

(A-8)(A-15)-120=0

A^2-23A+120-120=0

A^2-23A=0

A(A-23)=0

A=x^2-2x代回上式

(x^2-2x)(x^2-2x-23)=0

so x^2-2x=0 and x^2-2x-23=0

x(x-2)=0 and x^2-2x-23=0

x=0 or 2 or 1+/-根號(6)

然而題目要的是正整數解

so x=2

(註:0非正整數)

1.若x^2－3x+1=0，則x^2+1/x^2= ??
Sol
x^2－3x+1=0
x^2+1=3x
x+1/x=3
x^2+2+1/x^2=9
x^2+1/x^2=7

2.下列何者為方程式(x+2)(x+3)(x－4)(x－5)=120的正整數解??
Sol
(x+2)(x+3)(x－4)(x－5)=120
(x+2)(x－4)(x+3)(x－5)=120
(x^2－2x－8)(x^2－2x－15)=120
(x^2－2x)^2－23(x^2－2x)+120=120
(x^2－2x)^2－23(x^2－2x)=0
(x^2－2x)(x^2－2x－23)=0
x=0 or x=2 or x=(2+/-√96)/2
正整數解為2