機率問題,求及格率

我算的結果是:70%

2012-08-03 01:32:27 補充：
對於這個問題所給的數據，我嘗試以下較單純的想法，請板大指教。
(個人認為這題的本質不是"機率問題")

本題"題目總答對率"=81%+91%+85%+79%+74%=410%

設 及格率=P，則 不及格率=(1-P)，考慮"題目總答對率"，有:

410%
=題目總答對率
<= 5*P+2*(1-P) [很直觀:及格者至多答對5題，不及格者至多答對2題;下面有補充證明]
=3P+2
故P>=70%

至此知及格率P有"70%"這個下界，現考慮"="是否可成立，亦即"恰答對5題者占70%，恰答對2題者占30%"是否為本題之可行解:

由於70%<= min{81%,91%,85%,79%,74%}，因此上述情況在本題是可成立的;舉一例如下:

恰答對5題者占70%
恰答對2題者占30%
(包含:
答對1,2:11%,
答對2,3:10%,
答對3,4:5%,
答對4,5:4%)


因此，本題的及格率最少為70%......答


換句話說，及格率<70%是不可能的，因若P<70%，則:
410% <= 5*P+2*(1-P) = 3P+2 < 3*70%+2 = 410%，矛盾。(P<70%時無法全部達成各題之答對率)

補充一下上述思維:

由
Σ(答對第k題的人數)=Σ(i*恰答對i題的人數),k=1,2,3,4,5,i=0,1,2,3,4,5
(等號兩邊皆表示答對之總"人題"數)
上式兩邊同除以總人數，得: (P_i表示恰答對i題的人數比率)
81%+91%+85%+79%+74%(=410%) = 0*P_0 + 1*P_1 + 2*P_2 + 3*P_3 + 4*P_4 + 5*P_5
<= 2*P_0 + 2*P_1 + 2*P_2 + 5*P_3 + 5*P_4 + 5*P_5
=2*(P_0 + P_1 + P_2) + 5*(P_3 + P_4 + P_5)
=2*(1-P)+5*P,這裡 P=P_3 + P_4 + P_5=及格率
得到最上面提到的不等式。

---------------------------------------------------------------------------------

用
P_0 + P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5 = 1...(1)
1*P_1 + 2*P_2 + 3*P_3 + 4*P_4 + 5*P_5 = 題目總答對率...(2)
這個模型，可以處理更一般的情形，例如:

若本題第1~5題的答對率改成分別為88%,91%,85%,86%,60% (總和仍是410%)
仿上法，得及格率P>=70%，但此時P=70%顯然是不成立的。
(由於70%> min{88%,91%,85%,86%,60%}，自然不可能有70%的人5題全對，而這是"="成立的條件)
以下:
觀察上述(1)，(2)這兩個等式，不難用直觀或類似線性規劃觀念理解:
欲求及格率(=P_3 + P_4 + P_5)之最小值，可先把P_2由100%開始，配合第(2)式之成立及題目數據之可行解，將P_2的值依次"分"給P_5，P_4，P_3(盡量往P_i之i值較大者集中，原題即分了70%給P_5，其是可行解)

因此，就這組新數據而言，得到P_2=25%,P_4=15%,P_5=60%，及格率P=60%+15%=75%為最小值
[在此 P_4+2*P_5 <= 60%+85% (最小2者之和)，故P_4=15%,P_5=60%是可行解]

就這組新數據，舉一例如下:(答對率分別為88%,91%,85%,86%,60%)

答對5題者占60%
答對第1,2,3,4題者占15%
恰答對2題者占25%
(包含:
答對1,2:13%,
答對2,3:1%,
答對2,4:2%,
答對3,4:9%)

及格率P=75%為最小值

2012-08-03 01:34:15 補充：
原題的答案在文章中間: 及格率最少為70%

P(A) = 0.81, P(B) = 0.91, P(C) = 0.85, P(D) = 0.79, P(E) = 0.74.
問: P{A,B,C,D,E 至少3事件發生} ≧ ?

A,B,C,D,E 至少3事件發生, 即:
ABC∪ABD∪ABE∪ACD∪ACE∪ADE∪BCD∪BCE∪BDE∪CDE

ABC 之餘事件為 A'∪B'∪C'
P(ABC) = 1-P(A'∪B'∪C')
≧1-P(A')-P(B')-P(C')
= 1-(1-0.81)-(1-0.91)-(1-0.85) = 0.57
同法得
P(ABD) ≧ 1-(1-0.81)-(1-0.91)-(1-0.79) = 0.51
P(ABE) ≧ 0.46
:
:
P(CDE) ≧ 0.38

P(ABC∪ABD∪ABE∪ACD∪ACE∪ADE∪BCD∪BCE∪BDE∪CDE)
≧Max{P(ABC),P(ABD),...,P(CDE)} = P(ABC) = 0.57

故: 及格率至少 0.57.

這樣算好像怪怪的ㄟ
如果答對率分別為100%,100%,100%,0%,0%
平均答對率=60%
......
......
可試及格率因該是100%才對

及格率最少為何? 是確定的問題,沒有機遇性!

某次考試共5題,第1~5題的答對率分別為81%, 91%, 85%, 79%, 74%
答對3題(含)以上者為及格,問及格率最少為何?

每一題答對平均率=( 81%+ 91%+ 85%+ 79%+ 74%) / 5 = 82%

C(5,3)=10.......答對3題.....
C(5,4)=5.......答對4題.....
C(5,5)=1.......答對5題.....
10+5+1=16 ......答對3題(含)以上有16事件

答題樣本空間= C(5,0)+C(5,1)+.......C(5,5)=2^5=32

答對3題(含)以上機率= 16 / 32 = 1/2

及格率 = 每一題答對平均率 * 答對3題(含)以上機率

及格率 = 82% * 1/2 = 42%

答::及格率最少為 42%