求角EBC+角DBC為何

ABCD為一長寬比為3:1的長方形，AD，BC為長邊，AB，DC為短邊
E點將AD分成AE：ED=2：1，連接EB，DB，求角EBC+角DBC為何
Sol
設AB=x，AD=3x

Ａ──────────────Ｅ───────Ｄ
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
Ｂ──────────────────────Ｃ
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
Ｆ──────────────Ｈ───────Ｇ

BD=√10x
BH=√5x
DH=√5x
△BDH為等腰直角三角形
∠DBH=45度
∠DBH=∠DBC+∠CBH=∠DBH=∠DBC+∠EBC
So
∠EBC+∠DBC=45度

F點將BC分成BF:FC=2:1

令∠EBC= α, ∠DBC= β
tan(α)=EF/BF=1/2, tan(β)= CD/BC=1/3
和角公式
tan(α+β)=tan(α)+tan(β)/1-tan(α)*tan(β)
=[1/2 +1/3]/[1-1/2*1/3]
=(5/6) / (5/6) = 1

=>α+β =45°
=>∠EBC+∠DBC=45°

設AE=2k,ED=k,DC=k

依據畢氏定理知:
△EAB
==>EB=√k ^2+(2k)^2=k*√ 5

△DCB
==>DB=√ k^2+(3k)^2=k*√ 10


令∠ABE為β角,∠EBD為r角,∠DBC為α 角
又依據正弦定理知
k√ 10/sin90度=k/sinα
==>∠α≒ 18.43


k√ 10/sin90度=k/sinβ
==>∠β≒ 63.43

∠r=90-63.43-18.43=8.14

角EBC+角DBC=8.14+18.43+18.43=45度


2012-07-28 11:21:08 補充：
更正倒數第三行

k√ 5/sin90度=k/sinβ
==>∠β≒ 63.43

2012-07-28 12:21:26 補充：
如露大 :作法叫簡便