單射複合－証明

要証明函數是單射或不是單射，可以由定義入手。

定義(單射函數): 已知 F:X→Y。則 F 是單射⇔對任何x，y∈X，F(x)=F(y)⇒x=y。

証明函數F:X→Y是單射的步驟：
(1) 任意自X取出x和y並假設F(x)=F(y)
(2) 証明x=y。

例子：証明兩個單射的複合也是單射

解：
[將問題用數學符號表示]
設 f:A→B， g:C→D， 其中 f 和 g 都是單射 而且B⊂C。則 gof : A→D。

[認清目標→証明gof : A→D是單射。現在開始步驟(1)]
設x，y∈A及gof(x)=gof(y)。

[現在開始步驟(2)，証明x=y]
x，y∈A及 f:A→B⇒f(x), f(y)∈B。
B⊂C⇒f(x), f(y)∈C..........(*)

gof(x)=gof(y)⇒g[f(x)]=g[f(y)]....(**)

g:C→D是單射，(*)及(**)⇒f(x)= f(y)

f:A→B是單射，[x，y∈A及f(x)= f(y)]⇒x=y

故gof : A→D是單射

例子：已知gof是單射，証明 f 也是單射

解：
[將問題用數學符號表示]
設 f:A→B， g:C→D，B⊂C。則 gof : A→D。

[認清目標→証明 f : A→B是單射。現在開始步驟(1)]
設x，y∈A及 f(x)=f(y)。

[現在開始步驟(2)，証明x=y]
∴g[f(x)]=g[f(y)]⇒gof(x)=gof(y)
已知 gof 是單射，故 x=y
∴ f 是單射

要証明函數F:X→Y不是單射，即是証明"對任何x，y∈X，F(x)=F(y)⇒x=y"是錯的。步驟是：
(1+) 自X取出特別的x和y滿足F(x)=F(y)
(2+) 証明x≠y。
也就是找出反例，說明單射定義不成立

例：若g o f是單射，g 不一定是單射。
[這問題既非証明 g 是單射，亦非証明 g 不是單射。而是在g o f是單射的條件下，舉兩個例子，一個例子中 g 是單射，另一個例子中 g 不是單射]

解：

設 f：{1,2}→{a,b}, f(1)=a, f(2)=b [f 是單射]；
g：{a,b,c}→{p,q,r,s}, g(a)=p, g(b)=q, g(c)=r [g 是單射]，
則 gof：{1,2}→{p,q,r,s}, gof(1)=g[f(1)]=g(a)=p, gof(2)=g[f(2)]=g(b)=q [gof 是單射]
∴當 gof 是單射時，g 可以是單射

設 f：{1,2}→{a,b}, f(1)=a, f(2)=b [f 是單射]；
g：{a,b,c}→{p,q,r,s}, g(a)=p, g(b)=q, g(c)=q [g 不是單射]，
則 gof：{1,2}→{p,q,r,s}, gof(1)=g[f(1)]=g(a)=p, gof(2)=g[f(2)]=g(b)=q [gof 是單射]
∴當 gof 是單射時，g 可以不是單射