等比數列問題 (20點)

請問一下 設a，b，c為等差數列，也是等比數列，求證a=b=c 這題怎麼解
Sol
a，b，c為等差數列
2b=a+c
a，b，c為等比數列
b^2=ac
(2b)^2=(a+c)^2
4b^2=(a+c)^2
4ac=(a+c)^2
4ac=a^2+2ac+c^2
a^2－2ac+c^2=0
(a－c)^2=0
a－c=0
a=c
2b=a+c=a+a=2a
b=a
a=b=c

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設定成對稱形式，常有化簡效果。

a,b,c為等差數列: 設a=b-d, c=b+d
a,b,c也是等比數列: 則a*c=b^2，將設定代入
(b-d)*(b+d)=b^2
b^2-d^2=b^2
得d^2=0
故d=0，即a=b=c


用等比設定亦可，較麻煩些:
a,b,c為等比數列: 設a=b/r,c=b*r
a,b,c也是等差數列: 則2b=a+c，將設定代入
2b=b*r+b/r
2=r+(1/r) (b不為0,可約掉)
得r=1
故a=b=c

我的解法比較簡單喔！
設公差為d
a=a
b=a+d
c=a+2d
又a,b,c成等比
所以b^2=ac
(a+d)^2=a(a+2d)
a^2+2ad+d^2=a^2+2ad
d^2=0
d=0
證得a=b=c

(end)

請問一下 設a,b,c為等差數列,也是等比數列,求證a=b=c

設公差為d
a+d=b and b+d=c
d=b-a and c-b
公差d=b-a=c-b

設公比為r
ar=b and br=c
r=b/a and c/b
公比r=b/a=c/b

b/a=c/b
b^2=ac
b=+/-根號(ac)

b-a=c-b
2b=a+c
a+c=2[ +/-根號(ac) ]
a+c=+/- 2根號(ac)

兩邊同時平方
(a+c)^2= [ +/- 2根號(ac) ]^2
a^2+c^2+2ac=4ac
a^2+c^2-2ac=0
(a-c)^2=0
a-c=0
a=c

a=c代表公差(d)=0 , 公比(r)=1

a+0=a=b
b+0=b=c

a*1=a=b
b*1=b=c


so a=b=c

設a是數列第一項，b是第二項，c是第三項。
d是等差的差；r是等比的商。

b=a+d=ar；c=a+2d=ar^2

由b可得，d=ar-a。
c=a+2d=a+2(ar-a)=a+2ar-2a=2ar-a=ar^2
=>ar^2-2ar+a=0
=>a(r^2-2r+1)=0
=>a(r-1)=0

CASE1：
a=0
b=ar=0；c=ar^2=0。

a=b=c

CASE2：
r=1
b=a*1=a；c=a*1^2=a。

a=b=c。

所以a=b=c時，既是等差數列也是等比數列。