基本一階微分方程求解

這是一階微分方程

如果採用二階微分方程的解法

(y=e^(mt)代入求解)

那就只能計算"線性常係數"的微分方程

對於係數為函數或是非線性的一階微分方程則無法執行

(ex:y'(t)+p(t)y(t)=r(t)非常係數)

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對於一階微分方程大致有以下幾種解法

由基礎到進階依序排出:

1.分離變數

2.正合(積分因子)

3.公式解

4.全微分

5.Bernoulli D.E

6.非線性(ex:(1/1+y^2)(y')+(2/t)[arctan(y)]=(2/t))

(第六題hint:考慮arctan(y)對y微分)

基本上這題用分離變數即可求解

使用正合和公式解也可得到同樣結果

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step1:

先求齊次解y_h:

採用分離變數

(dy/dx)+y=0

=>dy+y*dx=0

=>-(1/y)dy=dx

左右同時積分

=> -ln(y)=x+C

=>y=[e^(-x)]*[e^(-C)]

=[e^(-x)]*c

所以y_h=ce^(-x)

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step2:

接著求特解y_p:

特解就是隨便帶入會使原等式成立的一解

本題觀察一下可知(通常一階的特解都容易看出來)

特解為u(t)且如果為常數k

則代入特解u'(t)+u(t)=0+k=k=u(t)

所以特解y_p=k

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step3:

y=y_h+y_p

=ce^(-t)+k

剩下起始條件未用

y(0)=ce^(-0)+k

=c+k=0

=>c=-k

答案為

y=c*e^(-t)-c,c為任意常數

且u(t)=(-c)

=c_1*e^(-t)+c_2,c_1=-c_2為任意常數

且u(t)=c_2

以上兩種形式都可以

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如果有問題歡迎再發問喔

2012-07-24 01:35:16 補充：
如果答案會不同的話

那還不如不要學微分方程了

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unit response是指unit step function嗎?

是的話

那答案只要把函數代入就行了

當t<0時u(t)=0

=>y=0

當t>=0時u(t)=1

=>y=[-e^(-t)]+1

如果解y=y(x)不是連續於x=0的話,就是錯的解.

y'(t)+p(t)y(t)=r(t) 形式的一階微方稱一階線性微方,
在大一微積分教本就有.

令 P(t) 是 p(t) 的一個反導數(不定積分). 原方程式
等價於
e^{P(t)}y'(t)+p(t)e^{P(t)}y(t) = r(t)e^{P(t)}
即 (y(t)e^{P(t)})' = r(t)e^{P(t)}. 因此
y(t)e^{P(t)} = ∫ r(t)e^{P(t)} dt
即: y(t) = e^{-P(t)} ∫ r(t)e^{P(t)} dt.

(1) 齊次解: y'(t)+y(t)=0Let y=e(mx) => y'=m*e(mx)0=m*e(mx)+e(mx)=m+1 => m=-1y(t)=e(-t)(2) 特別解: y'(t)+y(t)=u(t)u(t)=a => u'(t)=00+a=a(3) 通解=齊次解+特別解y(t)=e(-t)+ay(0)=e^0+a=1+a=0 => a=-1y(t)=e(-t)-1............ans