✔ 最佳答案
所謂 greatest-lower-bound property 是說:
若 A 是 S 中一個有 lower bound 的子集, 則存在一個 m
是 A 的 lower bound, 且不小於 A 的任意 lower bound.
簡單地說, 就是:
有 lower bound, 則有最大的 lower bound.
類似地, least-upper-bound property 就是說:
S 的一個子集若有 upper bound, 則存在最小的 upper bound.
例如 (Q,<) 並不具有 GLB 或 LUB 性質.
例如 {x in Q | x^2>2} 有 lower bound, 但它在 Q 中並無
greatest lower bound. 不過, 在 R 中, {x in Q | x^2>2}
有 GLB 是 √2.
所引問答那個 "證明" 是我給的, 想由有 GLB property
證明有 LUB property, 也就是說, 對 S 中任意有 upper
bound 的子集 A 都要證明它有 least upper bound.
為了證明這事, 證明程序是:
(1) 給予一個有 UP 的子集 A, 構造出一個對應的有 LB
的子集 B.
(2) 藉由 GLB property, 得知 B 有 GLB. 設為 m.
(3) 證明 m 是 A 的 LUB.
當然為了得到這結果, (1) 的集合 B 必須適當選擇.
例如 A 是 (0,1), B 取 (1,3).
實際上, 若 S 中一子集 A 是 (0,1), 該證明取的 B 是
B=[1,∞)∩S, B 是由 A 的所有 upper bounds 構成.
抄錄該證明如下, 並加說明:
(1) 設 A 是 S 的子集. 假設 A 有 upper bound.
令 B={x in S, x 是 A 的 upper bound}.
則 A 的元素都是 B 的 lower bound.
[說明]
似前例, 設 A 是 (0,1)∩S, 取 B 是 A (在S)的所有 upper bounds,
即 B=[1,∞)∩S.
(2) 因 S 有 g.l.b. property, 故存在 b 是 B 的 g.l.b.
[說明]
以前例而言, 或者 1 在 S 中 (b=1), 或者
B=[b,∞)∩S, 且 b 在 S 中.
(3) [證明前述 b 是 A 的 LUB.]
(a) 令 y in A, 則 y 是 B 的 lower bound, 故 y<b 或 y=b.
即: b 是 A 的一個 upper bound, 故 b in B.
[說明]
要證 b 是 A 的 LUB, 需證明
(a) b 是 A 的一個 upper bound, 及
(b) b 是 A 的所有 upper bounds 中最小的.
如前例, b 在 B={b,∞)∩S 中, 而 B 的定義是它的每個元素
都是 A=(0,1)∩S 的 upper bound, b 當然不例外, 也是 A
的一個 upper bound.
(b) 設 x 是 A 的一個 upper bound, 則 x in B.
但 b 是 B 的 g.l.b., 故 b<x 或 b=x.
[說明]
這是根據 greatest lower bound 的定義來的.
(c) b 是 A 的 upper bound, 又 < 或 = A 的任一 upper bound,
所以 b 是 A 的 l.u.b.
[說明]
這是根據 least upper bound 的定義, 把 (a), (b) 的結果做了個總結.
[補充證明的總結]
(4) 由前面 (1),(2),(3) 的論述一由於 A 只是 S 中任一有 upper bound
的集合, 而結論是 A 必有 LUB, 因此證得 S 具有 LUB property.
2012-07-22 01:36:46 補充：
是不是要S中任取的每個集合都有LUB性質，
才可以推得S 具有 LUB性質?
[R]
上述回答一開始就說明了: least-upper-bound property 就是說:
S 的一個子集若有 upper bound, 則存在最小的 upper bound.
這就是說: S 的每一個上方有界子集, 都存在最小上界.
而 GLB property 是說: S 的每一下方有界子集, 都有最大下界.
