求微分問題和積分問題的解.(2)

9) d/dx(5x ln x) = 5[x(1/x) + ln x] = 5 + 5ln xd/dx(5x ln x) = 5 + 5ln xd/dx(x ln x) = 1 + ln xd/dx(x ln x - x) = ln x∫ln x dx = x ln x - x + C = x(ln x - 1) + C10) y = xˣ ⇒ ln y = ln xˣ = x ln x ⇒ (dy/dx)/y = x(1/x) + ln x⇒ dy/dx = y(ln x + 1) = xˣ(1 + ln x)11) ∫√(1 + x)/x dx= ∫u/(u² - 1)[2√(1 + x)du] <-[令 u = √(1 + x), du = ½/√(1 + x) dx= ∫u/(u² - 1)[2√(1 + x)du] <-[dx = 2√(1 + x)du]= 2∫u²/(u² - 1)du= 2∫[1 + 1/(u² - 1)]du= 2∫[1 + ½/(u - 1) - ½/(u +1)]du= 2u + ln|u - 1| - ln|u+ 1| + C= 2√(1 + x) + ln|√(1 + x) - 1| - ln|√(1 + x) + 1| + C= 2√(1 + x) + ln|[√(1 + x) - 1]/[√(1 + x) + 1]| + C= 2√(1 + x) - 2tanh⁻¹√(1 + x) + C12) a) lim(x→ 0) ln(1 + x)/x = lim(x → 0) 1/(1 + x) = 1b) ∫½(e^√x)/√x dx= ∫e^u(½/√x dx) <-(令 u = √x, du = ½/√x dx)= ∫e^u du= e^u + C= e^√x + C 希望幫到你，不明白的話可再補充問題！

2012-07-19 14:16:05 補充：
001 10) 錯了

2012-07-19 14:23:10 補充：
麻辣第十題錯了

y=x^x
lny=lnx^x
lny=xlnx
y'/y=lnx+x/x
y'/y=lnx+1
y'=y(lnx+1) y=x^x
y'=x^x(lnx+1)

9a.d[5xLn(x)]/dx=5dx/dx*Ln(x)+5x*dLn(x)/dx=5Ln(x)+5x/x=5[1+Ln(x)].............ans
9b.∫Ln(x)dx=?From 9a: d[x*Ln(x)]=[1+Ln(x)]dx∫d[x*Ln(x)]=∫[1+Ln(x)]dxx*Ln(x)=∫dx+∫Ln(x)dx∫Ln(x)dx=x*Ln(x)-x=x[Ln(x)-1].............ans
10.y=x^x => y'=x*x^(x-1)............ans
11.w=∫√(1+x)dx/xLet y=√(1+x) => y²=1+xx=y²-1 => dx=2ydyw=∫y*2ydy/(y²-1)=∫[2+2/(y²-1)]dy=∫[2+1/(y-1)-1/(y+1)]dy=2y+Ln(y-1)-Ln(y+1)+C=2√(1+x)+Ln{[√(1+x)-1]/[√(1+x)+1]}+C=2√(1+x)+Ln{[√(1+x)-1]²/(1+x-1)}+C........上下乘√(1+x)-1=2√(1+x)+2Ln[√(1+x)-1]-Ln(x)+C
12a.w=Limit(x->0)Ln(1+x)/x使用l'Hopital定理:w=[Ln(1+x)]'/x'=1/(1+x)=1/(1+0)=1.........ans
12b.w=∫e(√x)dx/(2√x)Let y=√x => y²=x, 2ydy=dxw=∫e^y*2ydy/(2y)=∫e^y*dy=e^y+C=e(√x)+C..........ans