微分幾何(證明面積問題)

解析度太低，無法看清楚寫甚麼?
能否重新掃描?

2012-07-18 08:26:14 補充：
• 進入，點進圖片，然後將它放大就可以了。
如果還是看不清楚的話，我再掃瞄一次
•或是另存圖片，再打開放大
[[ANS]]
我已如此做過，圖檔解析度太低，
放大就模糊，請用較高的解析度再掃瞄一次。

2012-07-20 23:03:43 補充：
微分幾何(證明面積問題) 證明在平面上等周長的封閉曲線中，以圓所圍成的區域面積最大

以下的圖片連結是我們學校老師提供的解答，我看不大懂，有人能
補充或解釋一下嗎?

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC06918685/o/151207170500813871840830.jpg



圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC06918685/o/151207170500813871840831.jpg



圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC06918685/o/151207170500813871840842.jpg



圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC06918685/o/151207170500813871840853.jpg




圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC06918685/o/151207170500813871840854.jpg



圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC06918685/o/151207170500813871840865.jpg



圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC06918685/o/151207170500813871840866.jpg


2012-07-27 13:15:58 補充：
[[ANS]]
面積的等式A=∫(0~L)(x-x0)y'(s)ds還是會成立，
不過不等式(5) A+Ax=…<=很難計算(不是RxL了)
對我們之後的推論將沒有甚麼用處了。
你自己可以找一個容易計算的例子試試，
例如不規則曲線取周常L之長方形
(當然計算有點瑣碎，繁雜，但不妨一試)。

您的圖解的第二頁，
不規則圖形A的參數式是α(s)=(x(s), y(s))
圓A*的參數式是α*(s)=(x*(s), y*(s))=(x(s), y*(s))
為什麼兩個有相同的x(s)

如果兩個x(s)是不相同的話，那||(y'(s), - x'(s))||就不會=1
y'(s)是不規則圖形的
-x'(s)是圓的
不是在一個相同的圖形

我的疑問就是兩個圖形在x座標的參數式

可能我還有一些觀念不大清楚

2012-07-21 19:29:58 補充：
因為(在原文章裡)α*(s)=(x*(s), y*(s))=(x(s), y*(s))就是這樣建構的。

α*(s)=(x*(s), y*(s))=( x(s), -sqrt(R^2- x(s)^2) 0<=s<=s0
α*(s)=(x*(s), y*(s))=( x(s), sqrt(R^2- x(s)^2) s0<=s<=L
因此在此公式下它用括號寫了一行字:
(α* needn’t be a parametrization of the circle C*……)

2012-07-21 19:30:08 補充：
而不是:
α*(s)=(x*(s), y*(s))=( Rcos(2 Pi s/L), R sin(2 Pi s/L) )。

換句話說，α*(s)=(x*(s), y*(s))之x*(s)直接取用α(s)=(x(s), y(s))之x(s), y*(s)則根據x(s)取值使α*(s)在圓上而已。因為此種作法，s不為所作之圓之長度參數，故它說α*(s)不為圓C*之參數化(α* needn’t be a parametrization of the circle C*),原因在此.當然，|| ||也不一定會等於1。

2012-07-27 10:19:55 補充：
您上傳圖片解答的第3頁
A=∫(0~L)xy'ds=∫(0~L)(x-x0)y'(s)ds
因為∫(0~L)x0 y'(s)ds=0
我想問說如果x0是一個固定的x座標，使得
積分=0，那如果x0不是中點而是1/3的位置，
也就是x0還是固定位置但不是中點，那面積
的等式A=∫(0~L)(x-x0)y'(s)ds還會成立嗎?

解答裡面α(s)=(x(s), y(s)), s∈[0, L]其中的L是甚麼?

當s取成arc length parameter時,s=L即是該"等周長"的周長.

A=∫(0~L) x(s)y '(s)ds的公式是怎麼來的?

此封閉曲線α(s)=(x(s), y(s)), s∈[0, L]所圍的內部區域之面積A可用公式(1):
A=∫x dy,by Green's Theorem . By α(s)=(x(s), y(s)), s∈[0, L], x=x(s), dy=y'(s)ds就得到上式. 同理by Green's Theorem也可得公式(2): A=-∫y dx 甚或公式(3): A=(1/2)∫y dx -xdy 等等.

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