循環小數&無限小數2進位

0.1*2=0.2 (整數部分0為二進制小數點後第一位，小數部分0.2繼續計算)
0.2*2=0.4 (整數部分0為二進制小數點後第二位，小數部分0.4繼續計算)
0.4*2=0.8 (整數部分0為二進制小數點後第三位，小數部分0.8繼續計算)
0.8*2=1.6 (整數部分1為二進制小數點後第四位，小數部分0.6繼續計算)
0.6*2=1.2 (整數部分1為二進制小數點後第五位，小數部分0.2繼續計算)
(此小數部分與第一列之小數部分相同，故可推知後面會有小數循環)

故0.1(十進制)=0.0001100011.....(有00011的循環)(二進制)

0.625625625...*2=1.25125125...
(整數部分1為二進制小數點後第一位，小數部分0.25125125...繼續計算)
0.25125125...*2=0.50250250...
(整數部分0為二進制小數點後第二位，小數部分0.50250250...繼續計算)
0.50250250...*2=1.005005...
(整數部分1為二進制小數點後第三位，小數部分0.005005...繼續計算)
0.005005...*2=0.01001...
(整數部分0為二進制小數點後第四位，小數部分0.01001...繼續計算)
0.01001=0.02002...
(整數部分0為二進制小數點後第五位，小數部分0.02002...繼續計算)

故0.625625625...(十進制)=0.10100...(二進制)
(此數之二進制無限小數，可一直計算下去)

π=3.1415926......
整數部份為3，小數部分0.1415926繼續計算
0.1415926...*2=0.2831852...
(整數部分0為二進制小數點後第一位，小數部分0.2831852...繼續計算)
0.2831852...*2=0.5663704...
(整數部分0為二進制小數點後第二位，小數部分0.5663704...繼續計算)
0.5663704...*2=1.1327408...
(整數部分1為二進制小數點後第三位，小數部分0.1327408...繼續計算)
0.1372408...*2=0.2654816...
(整數部分0為二進制小數點後第四位，小數部分0.2654816...繼續計算)
0.2654816...*2=0.5309632...
(整數部分0為二進制小數點後第五位，小數部分0.5309632...繼續計算)
0.5309632...*2=1.0619264...
(整數部分1為二進制小數點後第六位，小數部分0.0619264...繼續計算)

故π=3.1415926......(十進制)=3.001001...(二進制)
(此數之二進制為無限小數，可一直計算下去)
註：由於只提供3.1415926...，6後面的數字不知為何，
所以我們只能當作有限小數3.1415926作近似計算
若6後方數字大於等於5，則第二列之小數應為0.2831853...
如此在計算小數點後好幾位後，必會有某位數與實際數值不符。

2012-07-11 00:29:33 補充：
更正：π=3.1415926...之整數部分忘了化成二進制= =

整數部分3(十進制)=11(二進制)

因此π=3.1415926...(十進制)=11.001001...(二進制)

2012-07-14 00:08:44 補充：
沒錯，老怪物說得沒錯
√3_(10) = √11_(2)，根號計算應該也可以直接計算，不管二次、三次…N次根號。
只是計算太麻煩，一般來說這種計算都會交給電腦吧！

另外，100(2)=0*2^0+0*2^1+1*2^2=4(10)是沒錯的，版主搞錯方向了
十進位的個位數是10^0，十位數是10^1，百位是10^2……，所以同理
二進位的個位數是2^0，再來左邊一位是2^1，再左邊一位是2^2，以此類推

同樣十進位，小數第一位是10^(-1)=0.1，小數第二位是10^(-2)=0.01……，同理
二進位的小數第一位是2^(-1)=1/2=0.5，小數第二位是2^(-2)=1/4=0.25…

2012-07-14 00:09:03 補充：
至於0.625625......的二進位制是否為無限循環小數還是無限非循環小數這個問題……
由於在下功力不夠，無法證明= = 只是由此計算下去「感覺」好像不會遇到剩餘小數相同，故只能「猜測」是無限非循環小數。但我無法證明。
不像0.1剛好遇到計算到第五列時「剛好」與第一列具有完全相同的小數，可以了解必然會有循環……

0.1 轉2 進位 會變成

00011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 ........

怎麼會是

00011 00011 00011 00011 .......

0.1 × 2 = 0.2 =======＞0
0.2 × 2 = 0.4 =======＞0
0.4 × 2 = 0.8 =======＞0
0.8 × 2 = 1.6 =======＞1
0.6 × 2 = 1.2 =======＞1
第5式 偵測到重複字串，造成循環小數。
由第2式開始循環字串。

0.625625 會變成無限不循環小數

√3_(10) = √11_(2) 應該可以, 反正不涉及外層平方根.
然而, 如果要 √3 的二進位結果, 那麼寫 √11 似乎不
能算對?

2012-07-12 09:21:25 補充：
十進位 √3 = 1.7325...
以二進位表示 = 1.101110...

二進位 √11 直接計算
　　　　　　１．１　０　１　１　１
　１　　　√１１
　１　　　　 １
－－－　　－－－－－
１０１　　 １０.００
　　１　　　　１０１
－－－－－　－－－－－－－－
１１００１　　　１１００００
　　　　１　　　　１１００１
－－－－－－　　－－－－－－－－
１１０１０１　　　１０１１１００
　　　　　１　　　　１１０１０１
－－－－－－－　　－－－－－－－－－
１１０１１０１　　　１００１１１００
　　　　　　１　　　　１１０１１０１

2012-07-13 21:59:28 補充：
立方根...直式開立方根太麻煩了.

2012-07-22 02:01:30 補充：
二進位 100 是 1*(2^2) + 0*(2^1) + 0*(2^0) 不是 1*(2^0)+0*(2^1)+0*(2^2).

2012-07-22 02:10:44 補充：
無論幾進位, 只要是整數進位, 有理數一定是循環小數(含整數
及有限位小數); 反之, 無理數是不循環的.

0.625625... = 625/999

以二進位分數表示, 為101110001/111110111. 也可以直接用此
二進制分數計算二進制小數.