數學~求切點和切線問題

y^2=4x，兩邊作X的微分，得到2yy'=4，y'=2/y
設斜率2之切線交拋物線於(x1,y1)，斜率-3之切線交拋物線於(x2,y2)
則有y1'=2/y1=2，y1=1代回y^2=4x，可得x1=1/4
y2'=2/y2=-3,y2=-2/3代回y^2=4x，可得x2=1/9

設P(x3,y3)，
則有(y3-1)/(x3-1/4)=2...(1)
[y3-(-2/3)]/(x3-1/9)=-3...(2)
解(1)、(2)可得P(-1/6,1/6)

斜率2之切線方程式：y-1=2(x-1/4)，即y=2x+1/2

設拋物線上任一點座標(t^2,2t)，切線L1方程式2x-y+a=0，切線L2方程3x+y+b=0
分別代入點到直線距離公式
|2t^2-2t+a|/√5=0 → 2t^2-2t+a=0且t的一元二次方程式判別式為0
→4-8a=0 → a=1/2 → L1方程式2x-y+1/2=0

|3t^2+2t+b|/√10=0 → 3t^2+2t+b=0且t的一元二次方程式判別式為0
→4-12b=0 → b=1/3 → L2方程式3x+y+1/3=0

複習一下圓錐曲線中，斜率m的切線公式:

y²=4cx 為 y=mx+c/m; x²=4cy 為 y=mx-cm² ;本題可利用前者。


y²=4x 斜率為2和-3的切線方程式分別為:

y=2x+1/2 (所求之一) 與 y=-3x-(1/3)，

P點為兩切線交點，解得 P(-1/6,1/6) (所求之二)