微積分(用洛爾rolle's定理)

首先考慮無重根情形.
設 p(x)=0 有 n 個相異實根 x_1<...<x_n,
則依 Rolle's 定理, 存在 y_i 在 x_i, x_{i+1} 之間, i=1,...,n-1,
使 p'(y_i) = 0.
因此, p'(x)=0 至少有 n-1 相異實根.
但 p(x) 是 n 次多項式, 因此 p'(x) 是 n-1 次多項式,
所以 p'(x)=0 至多 n-1 實根.
故, p'(x)=0 恰有 n-1 實根.
其次, 假設 p(x)=0 有一實根 x_0 為 k 重根, k>1.
則 p(x) = (x-x_0)^kq(x), q(x)=0 有 n-k 實根.
則 p'(x) = (x-x_0)^k q'(x) + k(x-x_0)^{k-1} q(x)
則 x_0 是 p'(x)=0 的 k-1 重根.假設 p(x)=0 有 r 個相異實根 x_1<...<x_r,
而各實根重複數依次為 k_1,...,k_r, 且 k_1+...+k_r=n.
則依 Rolle's 定理, 存在 y_i, i=1,...,r-1
分別介於 x_i 與 x_{i+1} 之間, 使 p'(y_i)=0.因此, 連同 k_i>1 部分, p'(x)=0 至少有
(k_1-1)+...+(k_r-1)+(r-1) = (k_1+...+k_r)-1 = n-1
實根. 但 p'(x) 是 n-1 次多項式, 因此 p'(x)=0 至多 n-1 實根.
故得證 p'(x)=0 恰有 n-1 實根.

這題應該出題有誤

只能說p'( x )至少有( n - 1 )個實根

不能說恰有

2012-07-06 07:11:25 補充：
阿忘了他是多項式了~"~