難題.. 送大量點

呼應版大另一題意見用數學歸納法證明
1^2+2^2+3^2+4^2+.....................+n^2=【n(n+1)(2n+1)】/6

pf：(1)當n=1, 左式= 1^2= 1*(1+1)*(2+1)/6 =右式，原式成立。
(2)設n=k時原式亦成立，即
1^2+2^2+3^2+4^2+.......+k^2=[k(k+1)(2k+1)]/6
(3)當n=k+1 時,
1^2+2^2+3^2+4^2+.......+k^2 + (k+1)^2= [k(k+1)(2k+1)]/6 + (k+1)^2
=[k(k+1)(2k+1)]/6+ 6(k+1)^2/6
=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]/6
=(k+1)(2k^2+7k+6)/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
=(k+1)(k+1+1)[2(k+1)+1]/6
知n=k+1時原式亦成立
對於所有n自然數，原式恆成立

※數學歸納法技巧必須知最後推出結果樣式，當過程中卡到時可反推，
但本題屬簡易.可直接推出。

右式已知，可考慮數學歸納法。
右式未知或已知，可利用3方和配合分項對消法。
[一般地，n方和可利用(n+1)方和配合分項對消法，但要先知(n-1)方和;
依此，可依序求出任意正整數次方和。]

Σ(k=1~n)[(k+1)³-k³]=3*∑(k=1~n)k²+3*∑(k=1~n)k+∑(k=1~n)1

(n+1)³-1³(分項對消)=3*∑(k=1~n)k²+[3n(n+1)/2]+n

3*∑(k=1~n)k²=(n+1)³-1-[3n(n+1)/2]-n=(n+1)[(n+1)²-1-3n/2]=n(n+1)(2n+1)/2

所求即∑(k=1~n)k²=n(n+1)(2n+1)/6

本題也可用"模型":
想像一個立方體積木堆的塔，第1層為n*n，第2層為(n-1)*(n-1)(左邊與下邊對齊)，
...，第k層為(n-k+1)*(n-k+1)，...，第n層為1*1(皆把左邊與下邊對齊)

則總積木數為∑(k=1~n)k²(依層來計數)或∑(k=1~n)(2k-1)*(n-k+1)(依最高樓依序往下計數)
故∑(k=1~n)k²=∑(k=1~n)(2k-1)*(n-k+1)=∑(k=1~n)(-2k²+2nk+3k-n-1)
即3*∑(k=1~n)k²=(2n+3)∑(k=1~n)k-∑(k=1~n)(n+1)=(2n+3)n(n+1)/2-n(n+1)=n(n+1)(2n+1)/2
故∑(k=1~n)k²=n(n+1)(2n+1)/6

試證S=1^2+2^2+3^2+4^2+................+n^2=n(n+1)(2n+1)/6=1+4+9+16+25+36+......第1階差=3,5,7,9,....d1=3第2階差=2,2,2,2.....d2=2公式: S=n/1!+n(n-1)d1/2!+n(n-1)(n-2)d2/3!=n+n(n-1)3/2+n(n-1)(n-2)2/6=n[1+3(n-1)/2+2(n-1)(n-2)/6]=n[6+9(n-1)+2(n^2-3n+2)]/6=n(6+9n-9+2n^2-6n+4)/6=n(2n^2+3n+1)/6=n(n+1)(2n+1)/6

You can go to my profile and read my passage that the title is
Σ(k=1~n)k³=[Σ(k=1~n)k]²