如何證明乘法結合律

有理數構造出實數
而有理數本身就符合乘法的結合律
公理化其中一方式:

集合R是一個體： 可以作加、減、乘、除運算，且有如交換律，結合律等常見性質。

2012-06-24 23:03:55 補充：
a*b
=(a-b+b)*(a-a+b)

=(a^2-a^2+a*b)+(-a*b+b*a-b^2)+(b*a-b*a+b^2)

=b*a
是這樣的意思嗎?

2012-06-24 23:05:48 補充：
喔忘記是結合律了
再重算一次吧

2012-06-24 23:53:53 補充：
有想到二個作法
欲證:(A*B)*C=A*(B*C)

1.令A=b/a B=d/c C=m/n

(A*B)*C= bd/ac * m/n = bdm/acn

A*(B*C)= b/a * dm/cn = bdm/acn 得證

這是實數的證明?

也可以看看這一個
http://wenku.baidu.com/view/f2315c24192e45361066f518.html

真的要完整知道還是去圖書館找書吧

2012-06-26 15:02:24 補充：
所謂公理化
就是從一些基本的無定義概念或一些已經理所當然的基本點出發
架構出更完整的一個系統
而那些運算律即是屬於那些根本的東西
當然可以藉由公理化
做出一套更完整的架構

2012-06-26 22:51:49 補充：
是否藉由其他定義方法來推展出這些運算性質
而不是用這種方式定義的?

印象中讀高等微積分的時候
對於實數的加法和乘法的交換與結合律，乃至乘法對加法的分配律都把他視為"公理"


我的想法是:

他雖非定義，但卻是顯而易見，可以接受的事實，可是他未必容易給出證明，故將其公理化
也就是大家不用去證明它

這問題，我大學時也想過，以上是我個人的看法

結合律要不要證明, 就跟交換律要不要證明一樣,
是如何定義的問題.

2012-06-26 21:33:14 補充：
在實數系的公設化定義中, "實數系" 包括了:
實數集 R, 兩個運算+,×, 一個順序關係 ＜.
而它們必須滿足三組公設:
(1) 體(field)公設: 關於 + 與 × 兩運算的基本性質.
(2) 順序公設: 關於＜這個關係的基本要求.
(3) 完備性公設: 一個有上界的實數子集必有一最小上界.

其中 "順序公設" 可以由另一組所謂 "正數公設" 替代.
正數公設說的是 R 有一個子集 P 是包含所有正數.

2012-06-27 20:23:13 補充：
要 "證明", 就是從數系擴展的觀點來看實數系.

而實數系的直接公設化定義, 就是把+,×兩種運算
所需要的基本性質放到定義中. 這些基本性質 (結
合律、交換律等等), 如樓上所說是 "顯而易見" 亦
可, 說是我們要求這些性質必須滿足亦可.

就像歐氏幾何有一公設 "兩點間以直線距離為最短".
這可以視為(在某種情況下)是顯而易見的, 也可以視
為是我們 "規定" 的. 如果不如此規定, 可能要其他
公設取代, 形成一套 "非歐幾何".

2012-06-27 20:31:14 補充：
從數系擴展觀點, 首先是定義正整數系及此數系之加法、
乘法運算, 而後利用 "數學歸納法" 證明
(m×n)×p = m×(n×p) for all m,n,p in N.

[證]
(1) p=1 時, (m×n)×p = (m×n)×1 = m×n = m×(n×1) = m×(n×p) 成立;
(2) 設 p=k 時等式 (m×n)×p = m×(n×p) 成立.
當 p=k+1 時,
　 (m×n)×p = (m×n)×(k+1) = (m×n)×k + (m×n)
　 　 = m×(n×k) + m×n

2012-06-27 20:35:11 補充：
　要證明上列最後一式等於 m×(n×(k+1)), 必須先證明正整數中
× 對 + 的 "分配律". 即:
　　　m×(n+p) = m×n + m×p for all m,n.p in N
而這又是另一串應用數學歸納法的證明程序.

有上述乘對加的分配律, 則
　 m×(n×k) + m×n = m×(n×k+n) = m×(n×(k+1)).

一個周長314公尺的圓形跑道

你一口氣跑了10圈 站在終點氣喘吁吁 累得滿頭大汗

可從物理的觀點來說 「位移」是「0」