中學數學~國中數學競試題目

令a=3r,b=8r
代入y/a=3/8,則y/3r=3/8
交叉相乘9r=8y,y=9r/8
再代入x/y=3/8,則3y=8x,3*(9r/8)=8x,8x=27r/8,x=27r/64

a=3r
b=8r
x=27r/64
y=9r/8

但x,y,a,b為正整數且最小值，所以r=64

a=192
b=512
x=27
y=72

因此x+y+a+b之最小值=803

x/y=3/8
交叉相乘
就會得到
8x=3y,8y=3a,8a=3b
.............................................
設x=3r,y=8r
................................................
因為8y=3a
8r X 8(=64r) =3a
所以a=64/3 r
..............................................
因為8a=3b
64/3 r X 8 =3b
所以b=512/9
.............................................
因為要最小值的正整數
所以r=9
............................................
代進去
x=27
y=72
a=192
b=512

所以加起來=803

用點感覺，會意一下:

從 x/y = y/a = a/b = 3/8
知道: a，y，x 分別是 b 乘 3/8， (3/8)^2，(3/8)^3
即: 4數是以b為首項，3/8為公比之等比數列

此4個正整數的最小和，即取b之最小值

但 b 連乘 3 次 3/8，都要保持正整數
所以 b 必含三個8"備用" (反之亦然)

故b之最小值為 8*8*8=512
餘三數: 192，72，27

所求: 512+192+72+27=803

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設x,y,a,b為正整數,x/y=y/a=a/b=3/8
則x+y+a+b之最小值為何?
Sol
x/y=y/a=a/b=3/8=p
x=py，y=ap，a=bp
x=py，y=bp^2，a=bp
x=bp^3，y=bp^2，a=bp
x+y+a+b
=bp^3+bp^2+bp+b
=b(p^3+p^2+p+1)
=b(27/512+9/64+3/8+1)
=(b/512)*(27+72+192+512)
=(b/512)*803
當 b=512時
x+y+a+b=803為最小