關於線性代數行列式問題

｜ 1 1 1 1｜
｜ a b c d｜
｜a2 b2 c2d2｜
｜a4 b4 c4 d4｜
=｜1 a a2 a4｜
｜1 b b2 b4｜
｜1 cc2 c4｜
=｜b－a b2－a2 b4－a4｜
｜c－a c2－a2 c4－a4｜
｜d－a d2－a2 d4－a4｜
=(b－a)(c－a)(d－a)｜1 b+a b3+b2a+ba2+a3｜
｜1 c+ac3+c2a+ca2+a3｜
｜1 d+a d3+d2a+da2+a3｜
=(b－a)(c－a)(d－a)｜c－b (c3－b3)+a(c2－b2)+a2(c－b)｜
｜d－b (d3－b3)+a(d2－b2)+a2(d－b)｜
=(b－a)(c－a)(d－a)(c－b)(d－b)｜1 c2+cb+b2+a(c+b)+a2｜
｜1 d2+db+b2+a(d+b)+a2｜
=(b－a)(c－a)(d－a)(c－b)(d－b)[(d2+bd+b2+ad+ab+a2)－(c2+bc+b2+ac+ab+a2)]
=(b－a)(c－a)(d－a)(c－b)(d－b)(d2+bd+ad－c2－bc－ac)
=(b－a)(c－a)(d－a)(c－b)(d－b)[(d2－c2)+(bd－bc)+(ad－ac)]
=(b－a)(c－a)(d－a)(c－b)(d－b)[(d+c)(d－c)+b(d－c)+a(d－c)]
=(b－a)(c－a)(d－a)(c－b)(d－b)(d－c)[(d+c)+b+a]
=(b－a)(c－a)(d－a)(c－b)(d－b)(d－c)(a+b+c+d)

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設 f(a,b,c,d)=
[1 1 1 1 ]
[a b c d ]
[a² b² c² d² ]
[a⁴ b⁴ c⁴ d⁴]
則f(a,b,c,d)是一條7次的齊次對稱式。
當a=b, f(b,b,c,d)=0 (因為首兩行相等)，所以 (a-b)是因式。由於f(a,b,c,d)對稱，故(b-c)，(c-d)，(d-a)也是因式。
當a=c, f(c,b,c,d)=0，所以 (a-c)是因式。由於f(a,b,c,d)對稱，故(b-d)，(c-a)，(d-b)也是因式。
於是 f(a,b,c,d) 有(a-b)，(b-c)，(c-d)，(d-a)，(a-c)，(b-d) 6個相異因式。
f(a,b,c,d)是一條7次的齊次對稱式，除去上述6個相異因式，f(a,b,c,d)還有一個一次齊次的對稱因式，即是 (a+b+c+d)。所以 f(a,b,c,d)=k(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)(a-c)(b-d)(a+b+c+d)，其中k 是常數。
比較 a⁴b² c 的係數，由f(a,b,c,d)得到(-1)，由k(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)(a-c)(b-d)(a+b+c+d)得到
k(1)(1)(1)(-1)(1)(1)(1)，所以 -1=-k，k=1。
∴f(a,b,c,d)=(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)(a-c)(b-d)(a+b+c+d)。

跟 Vandermont 方陣有點差異，但做法一樣。

你這是很有名的凡德蒙行列式

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