〔高中數學〕正整數都是 53 個整數的四次方和

利用 Lagrange 四平方和定理 , 任何 6k 型正整數可表為 6(a² + b² + c² + d²)= 6(a1² + a2² + a3² + a4²)² + 6(b1² + b2² + b3² + b4²)²
+ 6(c1² + c2² + c3² + c4²)² + 6(d1² + d2² + d3² + d4²)² ...... (*)其中 a1² + a2² + a3² + a4² = a , 如此類推。
由恆等式 6(a² + b² + c² + d²)²= 6a⁴+ 6b⁴+ 6c⁴+ 6d⁴+ 12a²b² + 12a²c² + 12a²d² + 12b²c² + 12b²d² + 12c²d²)= 2(a⁴+ 6a²b² + b⁴) + 2(a⁴+ 6a²c² + c⁴) + 2(a⁴+ 6a²d² + d⁴)
+ 2(b⁴+ 6b²c² + c⁴) + 2(b⁴+ 6b²d² + d⁴) + 2(c⁴+ 6c²d² + d⁴) = (a + b)⁴+ (a - b)⁴ + (a + c)⁴+ (a - c)⁴ + (a + d)⁴+ (a - d)⁴
+ (b + c)⁴+ (b - c)⁴ + (b + d)⁴+ (b - d)⁴ + (c + d)⁴+ (c - d)⁴可知 (*) 能表為不多於 12 x 4 = 48 個整數的四次方和。於是任何正整數 6k + (0,1,2,3,4 或5) 可表為不多於48 + 5 = 53 個整數的四次方和。這結果屬於法國數學家J.Liouville。
1986年美國數學家證得 n 下界為 19 , 亦即解決了華林問題 g(4) 情況。
華林問題 : 求 g(k) , g(k) 表任何正整數能用k次方數和表示的最少個數。g(1) = 1 , g(2) = 4 , g(3) = 9 , g(4) = 19 , g(5) = 37。
一般 g(k) 情況未解決。一個著名猜想是 g(k) = 2ᵏ + [1.5ᵏ](取整) - 2 。