中四數學問題(詳細答唔該!!!)

1)
A部分為常數，部分隨 N 而反變 :
A = k1 + (k2/N)
其中 k1 及 k2 為常數

當 N = 30, 則 A = 45 :
45 = k1 + (k2/30)
30k1 + k2 = 1350 ...... [1]

當 N = 25, 則 A = 46 :
46 = k1 + (k2/25)
25k1 + K2 = 1150 ...... [2]

[1] - [2] :
5k1 = 200
k1 = 40

把 k1 = 40 代入 [1] 中 :
30(40) + k­2 = 1350
k2 = 150

所以 A = 40 + (150/N)

當 A = 43 :
43 = 40 + (150/N)
(150/N) = 3
N = 50

參加派對的學生共有 30 名。


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2)
(x - a)(x - b)³(x + c)² 和 (x + b)(x + c)

H.C.F. = x + c
L.C.M. = (x - a)(x - b)³(x + b)(x + c)²


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3)
[1 - cos²(90° - x)] / 2sinxcosx
= [1 - sin²x] / 2sinxcosx
= cos²x / 2sinxcosx
= cos / 2sinx
= 1 / 2tanx


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4)
I 必為正確。

A + B = 180°
則 A = 180° - B

I. sinA = sin(180° - B) = sinB。
所以 I 必為正確。

II. cosA = cos(180° - B) = -cosB
所以 II 未必正確。

III. 當 A = 0°, B = 180°
sinA = sin0° = 0
cosB = cos180° = -1
所以 III 未必正確。


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5)
tan 120° cos (180° + x) + 2 sin120° sin (180° - x)
= tan (180° - 60°) (-cos x) + 2 sin (180° -60°) sin x
= (-tan 60°) (-cos x) + 2 (sin 60°) sin x
= (√3)cos x + 2(√3/2) sin x
= (√3)(sin x + cos x)


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6)
y = (3sinx - 2)²
y = 9sin²x - 12sinx + 4

當 sinx 為極小值（負值）時，9sin²x 及12sinx 均為極大值。

當 sinx = -1 時，y 的極大值
= 9(-1)² - 12(-1) + 4
= 25

另一計算方法：
-1 ≤ sinx ≤ 1
-3 ≤ 3sinx ≤ 3
-5 ≤ (3sinx - 2) ≤ 1
0 ≤ (3sinx - 2)² ≤ 25

故此 y 的極大值 = 25


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7)
sinx + tanx = 0
sinx = -tanx
sinx = -sinx/cosx
sinx cosx = -sinx
sinx cosx + sinx = 0
sinx (cosx + 1) = 0
sinx = 0 或 cosx = -1
x = 0°, 180°, 360° 或 x = 180°
由於 180° 為重限，因此有 3 個相異的根。


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8)
log(10/a) = -3log(b)
log(10/a) = log(b⁻³)
10/a = b⁻³
10/a = 1/b³
a/10 = b³
a = 10b³

1) 一班學生舉行派對。每名學生需付的金額$A部分為常數，部分隨參加派對的學生人數N而反變。若有30名學生參加派對，每名學生需付$45。若有25名學生參加派對，每名學生需付$46。若每名學生需付清43，參加派對的學生共有多少名?

A = k/N + c (k != 0 ,c為常數)

當 A=45 , N= 30

45 = k/30 + c ............(1)

當 A=46 , N= 25

46 = k/25 + c ............(2)

(2) - (1) :

得 k = 150 , c = 40

所以 A = 150/N + 40

當 A=43

43 = 150/N + 40

N = 50

2) 求(x-a)(x-b)^3(x+c)^2和(x+b)(x+c)的H.C.F和L.C.M.。

H.C.F. = (x+c)
L.C.M.= (x-a)(x+b)(x-b)^3(x+c)^2

3) 1-cos^2(90度 - x)/2sinxcosx

1-cos^2(90度 - x)/2sinxcosx

= 1 - ( sin^2 x )/ 2sinxcosx

= 1 - sinx/2cosx

= 1- tanx/2

= ( 2 - tanx )/2

4) 若a+b=180度，下列何者必為正確?
I. sinA=sinB
II. cosA=cosB
III. sinA=cosB


l. sin a = sin (180 -b ) = sin b

ll. cos a = cos a
cos b = cos (180 - a ) = -cos a

lll. 當 a + b = 90度 時成立

所以 ans = 只有 (l)

5) tan120度cos(180度 + x)+2sin120度sin(180度 - x)

= tan (180 -60 )( -cos x ) + 2sin (180 - 60) sin x

= tan 60 (-cos x) + 2(sin 60 )( sin x )

根住禁 cal機....

6) y=(3sinx - 2)^2的極大值

-1 <= sinx <= 1
-3 <= 3sinx <= 3
-5 <= 3sinx -2 <= 1
0 <= (3sinx - 2)^2 <=1

所以 y 極大值 =1

7) 若0≤x≤360度，問方程sinx+tanx=0有多少個相異的根?

sinx+tanx=0
sinx + sinx /cosx = 0
sinx cosx + sinx = 0
sinx (cos x +1)=0
sinx = 0 or cosx = -1
( 3個根 ) (1個根)
所以 有4個根

8) 若log10/a= -3logb，其中a>0及b>0，則a=?

兩個未知數要聯立方程